「以下の分数式を部分分数分解せよ。ただし、分子の次数は0になるようにすること。
(1)\large\dfrac{3}{(x+2)(x-5)}
(2)\large\dfrac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}
(3)\large\dfrac{x+4}{x(x-2)^2}」このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
部分分数分解は分母に複数の因数が含まれるとき、それぞれの因数を分母にもつ分数に分解することです。
(1)\tfrac{3}{(x+2)(x-5)}
部分分数分解すると、以下の式のようにおけます。
\frac{3}{(x+2)(x-5)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-5}\tag{I}
このように分解できるのは因数同士が互いに素である場合です。
両辺に(x+2)(x-5)を掛けて分母を払います。
3=A(x-5)+B(x+2)
これは恒等式になるため、A,Bの決定には係数比較法と数値代入法の2通りがありますが、本記事では係数比較法を使って解きます。
右辺を展開して、両辺の係数、定数項がわかるように整理して
\text{(i)}よりB=-A、これを\text{(ii)}に代入して
\begin{align*}3&=Ax-5A+Bx+2B\\[0.5em]0x+3&=(A+B)x+(-5A+2B)\end{align*}
両辺の係数、定数項を比較して
\left\{\begin{aligned}A+B&=0&\cdots\text{(i)}\\[1em]-5A+2B&=3&\cdots\text{(ii)}\end{aligned}\right.
となるから、\text{(i)}よりB=-A、これを\text{(ii)}に代入して
\begin{align*}-5A-2A&=3\\[0.5em]-7A&=3\\[0.5em]A&=-\frac{3}{7}\end{align*}
したがって、A=-\dfrac{3}{7},B=\dfrac{3}{7}
これらを\text{(I)}に代入して
\begin{align*}\frac{3}{(x+2)(x-5)}&=\cfrac{-\cfrac{3}{7}}{x+2}+\cfrac{\cfrac{3}{7}}{x-5}\\[0.5em]&=-\frac{3}{7}\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-5}\right)\\[0.5em]&=\frac{3}{7}\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+2}\right)\end{align*}
となります。
(2)\tfrac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}
同じ因数が複数個ある場合は
\frac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+1}
とはできません。右辺は
\frac{A+B+C}{x+1}
となるので、左辺と全く違う分数式になってしまいます。互いに素でない因数の場合は(1)のように分解できません。
なので、部分分数分解するには別の方法を考える必要があります。
この場合の分解を2桁以上の数の桁ごとの分解から考えます。
123という数を桁ごとに分解すると
ここで、両辺を10^3で割ると
\dfrac {123}{10^3}が分母に10の累乗をもつ3つの分数に分解できていますね?この分母の10の累乗部分をx+1の累乗に置き換えて考えればよいのです。
この場合の分解を2桁以上の数の桁ごとの分解から考えます。
123という数を桁ごとに分解すると
123=1\times10^2+2\times10+3
と書けます。ここで、両辺を10^3で割ると
\frac{123}{10^3}=\frac{1}{10}+\frac{2}{10^2}+\frac{3}{10^3}
と書くことができます。\dfrac {123}{10^3}が分母に10の累乗をもつ3つの分数に分解できていますね?この分母の10の累乗部分をx+1の累乗に置き換えて考えればよいのです。
部分分数分解したものは
両辺に(x+1)^3を掛けて分母を払うと
\frac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}\tag{II}
とおけます。両辺に(x+1)^3を掛けて分母を払うと
\begin{align*}2x^2-3x+7&=A(x+1)^2+B(x+1)+C\\[0.5em]&=(Ax^2+2Ax+A)+(Bx+B)+C\\[0.5em]&=Ax^2+(2A+B)x+(A+B+C)\end{align*}
となります。
両辺の係数を比較して
\left\{\begin{aligned}A&=2&\cdots\text{(iii)}\\[1em]2A+B&=-3&\cdots\text{(iv)}\\[1em]A+B+C&=7&\cdots\text{(v)}\end{aligned}\right.
となるので、これを解きます。
\text{(iii)}を\text{(iv)}に代入して
\begin{align*}2\cdot2+B&=-3\\[0.5em]4+B&=-3\\[0.5em]B&=-7\end{align*}
これと\text{(iii)}を\text{(v)}代入して
\begin{align*}2-7+C&=7\\[0.5em]-5+C&=7\\[0.5em]C&=12\end{align*}
したがって、A=2,B=-7,C=12となるから\text{(II)}は
\begin{align*}\frac{2x^2-3x+7}{(x+1)^3}&=\frac{2}{x+1}+\frac{-7}{(x+1)^2}+\frac{12}{(x+1)^3}\\[0.5em]&=\frac{2}{x+1}-\frac{7}{(x+1)^2}+\frac{12}{(x+1)^3}\end{align*}
となります。
(3)\tfrac{x+4}{x(x-2)^2}
(1)と(2)の解き方を組み合わせて部分分数分解をおこないます。
以下のように分解することができます。
以下のように分解することができます。
\begin{align*}\frac{x+4}{x(x-2)^2}&=\frac{A}{x}+\frac{Px+Q}{(x-2)^2}\\[0.5em]&=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}\tag{III}\end{align*}
となります。
両辺にx(x-2)^2を掛けて分母を払うと
\begin{align*}x+4&=A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx\\[0.5em]&=(Ax^2-4Ax+4A)+(Bx^2-2Bx)+Cx\\[0.5em]0x^2+x+4&=(A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A\end{align*}
両辺の係数を比較して
\left\{\begin{aligned}A+B&=0&\cdots\text{(vi)}\\[1em]-4A-2B+C&=1&\cdots\text{(vii)}\\[1em]4A&=4&\cdots\text{(viii)}\end{aligned}\right.
となるので、これを解きます。
\text{(viii)}よりA=1、これを\text{(vi)}に代入して
\begin{align*}1+B&=0\\[0.5em]B&=-1\end{align*}
\text{(vii)}に代入して
\begin{align*}-4\cdot1-2\cdot(-1)+C&=1\\[0.5em]-2+C&=1\\[0.5em]C&=3\end{align*}
したがって、A=1,B=-1,C=3となるから\text{(III)}は
\begin{align*}\frac{x+4}{x(x-2)^2}&=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{(x-2)^2}\end{align*}
となります。
Share: