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2022年12月10日

正三角形の中線は垂直二等分線かつ角の二等分線になる?

正三角形の中線
 正三角形の中線は垂直二等分線や角の二等分線になることができるのでしょうか?

 正三角形ABCの頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ中線AMを引き、ABMACMをつくります。

3組の辺がそれぞれ等しい
この2つの三角形は
  • 正三角形ABCより、AB=AC
  • MBCの中点なのでBM=CM
  • AMは共通の辺なのでAM=AM
であることから、3組の辺がそれぞれ等しいのでABMACMは合同であることがわかります。
正三角形の中線は垂直二等分線かつ角の二等分線
 このことからBAM=CAMであるから中線AMAの二等分線であることがわかります。
また、AMB=AMCBMC=180°であることからAMB=AMC=90°
このこととBM=CMであることから中線AMBCの垂直二等分線であることがわかります。

以上は二等辺三角形の頂点からのびる中線についても同様に言えます。

さらに、AB=BC=CAであることからAB,CAの中線をN,Oとし、上記と同様にして中線CNABの垂直二等分線かつCの二等分線、中線BOCAの垂直二等分線かつBの二等分線であることを示すことができます。

したがって、正三角形の中線は交わる辺の垂直二等分線であり、通る頂点における内角の二等分線であることがわかります。


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