円の弦の垂直二等分線と中心

円の弦の垂直二等分線は必ず中心を通ります。
これが正しいことを確かめてみます。

　円の中心$\text{O}$から弦$\text{AB}$の両端$\text{A, B}$までの距離はそれぞれ円の半径に等しいので$\text{OA}=\text{OB}$が成り立ちます。
弦$\text{AB}$の垂直二等分線を引くと、この垂直二等分線上の点のみが点$\text{A, B}$それぞれからの距離が等しい点となるので、点$\text{O}$もこの点の中に含まれることになります。

関連：垂直二等分線上の点以外に等距離の点は存在する？

したがって、円の弦の垂直二等分線は必ず中心を通ることがわかります。

　今度は視点を変えて円の中心を通る直線のうち、ある弦に対する垂線であるものは、その弦の垂直二等分線になることを確かめてみます。

円の中心$\text{O}$から弦$\text{AB}$の両端へ線分$\text{OA, OB}$を引くと前述の通り$\text{OA}=\text{OB}$となることから$△\text{OAB}$は二等辺三角形であることがわかります。

ここに点$\text{O}$から線分$\text{AB}$へ垂線をおろすと、二等辺三角形の性質により垂線は線分$\text{AB}$の垂直二等分線となります。

関連：二等辺三角形の特徴

したがって、円の中心を通りかつある弦に垂直な直線はその弦の垂直二等分線であるということがいえます。

　ちなみに、この弦の垂直二等分線は円と2点で交わるのですが、この2個の交点によって切り取ってできる線分は円の直径となります。