「\sin x^2が周期関数でないことを示せ。」
周期関数の定義は
f(x+p)=f(x)\quad(p:定数,p\neq0)
が恒等式として成り立つことです。このことと背理法を利用して解きます。
\sin x^2が周期関数であると仮定すると
\sin(x+p)^2=\sin x^2
が常に成り立つような定数pが存在するはずなので、これを満たすpを求めます。
移項して
\sin(x+p)^2-\sin x^2=0
和積の公式より
\begin{align*}\sin(x+p)^2-\sin
x^2&=2\cos\left\{\frac{(x+p)^2+x^2}{2}\right\}\sin\left\{\frac{(x+p)^2-x^2}{2}\right\}\\[0.5em]&=2\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)\end{align*}
なので、
\begin{align*}2\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=0\\[0.5em]\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=0\end{align*}
これが成り立つ条件は\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)=0または\sin\left(\dfrac{2px+p^2}{2}\right)=0となります。
\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)=0のとき
\begin{align*}\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)&=\cos\left(\frac{2n+1}{2}\pi\right)\quad(n:整数)\\[0.5em]\frac{2x^2+2px+p^2}{2}&=\frac{2n+1}{2}\pi\\[0.5em]2x^2+2px+p^2&=(2n+1)\pi\\[0.5em]2x^2+2px+p^2-(2n+1)\pi&=0\\[0.5em]p^2+2xp+\bigl\{2x^2-(2n+1)\pi\bigr\}&=0\\[0.5em]p&=-x\pm\sqrt{-x^2+(2n+1)\pi}\end{align*}
\sin\left(\dfrac{2px+p^2}{2}\right)=0のとき
\begin{align*}\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=\sin
n\pi\quad(n:整数)\\[0.5em]\frac{2px+p^2}{2}&=n\pi\\[0.5em]2px+p^2&=2n\pi\\[0.5em]2px+p^2-2n\pi&=0\\[0.5em]p^2+2xp-2n\pi&=0\\[0.5em]p&=-x\pm\sqrt{x^2+2n\pi}\end{align*}
いずれの場合でもpはxの関数であり、定数ではありません。
したがって、仮定は誤り、すなわち\sin
x^2は周期関数でないことがわかります。
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