「$\sin x^2$が周期関数でないことを示せ。」
周期関数の定義は
\[f(x+p)=f(x)\quad(p:定数,p\neq0)\]
が恒等式として成り立つことです。このことと背理法を利用して解きます。
$\sin x^2$が周期関数であると仮定すると
\[\sin(x+p)^2=\sin x^2\]
が常に成り立つような定数$p$が存在するはずなので、これを満たす$p$を求めます。
移項して
\[\sin(x+p)^2-\sin x^2=0\]
和積の公式より
\begin{align*}\sin(x+p)^2-\sin
x^2&=2\cos\left\{\frac{(x+p)^2+x^2}{2}\right\}\sin\left\{\frac{(x+p)^2-x^2}{2}\right\}\\[0.5em]&=2\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)\end{align*}
なので、
\begin{align*}2\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=0\\[0.5em]\cos\left(\frac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=0\end{align*}
これが成り立つ条件は$\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)=0$または$\sin\left(\dfrac{2px+p^2}{2}\right)=0$となります。
$\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)=0$のとき
\begin{align*}\cos\left(\dfrac{2x^2+2px+p^2}{2}\right)&=\cos\left(\frac{2n+1}{2}\pi\right)\quad(n:整数)\\[0.5em]\frac{2x^2+2px+p^2}{2}&=\frac{2n+1}{2}\pi\\[0.5em]2x^2+2px+p^2&=(2n+1)\pi\\[0.5em]2x^2+2px+p^2-(2n+1)\pi&=0\\[0.5em]p^2+2xp+\bigl\{2x^2-(2n+1)\pi\bigr\}&=0\\[0.5em]p&=-x\pm\sqrt{-x^2+(2n+1)\pi}\end{align*}
$\sin\left(\dfrac{2px+p^2}{2}\right)=0$のとき
\begin{align*}\sin\left(\frac{2px+p^2}{2}\right)&=\sin
n\pi\quad(n:整数)\\[0.5em]\frac{2px+p^2}{2}&=n\pi\\[0.5em]2px+p^2&=2n\pi\\[0.5em]2px+p^2-2n\pi&=0\\[0.5em]p^2+2xp-2n\pi&=0\\[0.5em]p&=-x\pm\sqrt{x^2+2n\pi}\end{align*}
いずれの場合でも$p$は$x$の関数であり、定数ではありません。
したがって、仮定は誤り、すなわち$\sin
x^2$は周期関数でないことがわかります。
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