2次方程式ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0の解の公式は
x=−b±√b2−4ac2ax=−b±√b2−4ac2a
となります。
なぜ、このような式になるのでしょうか？
また、判別式D=b2−4acD=b2−4acとはどのような関係があるのでしょうか？
2次方程式の解の公式は以下のように導くことができます。
2次方程式ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0の左辺を平方完成すると
a(x2+bax)+c=a[{x2+bax+(b2a)2}−(b2a)2]+c=a{x+bax+(b2a)2}−b24a+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4aa(x2+bax)+c=a[{x2+bax+(b2a)2}−(b2a)2]+c=a{x+bax+(b2a)2}−b24a+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4a
となるので、xxについて解くと
a(x+b2a)2−b2−4ac4a=0(x+b2a)2−b2−4ac4a2=0{(x+b2a)+√b2−4ac2a}{(x+b2a)−√b2−4ac2a}=0x+b2a=±√b2−4ac2ax=−b±√b2−4ac2aa(x+b2a)2−b2−4ac4a=0(x+b2a)2−b2−4ac4a2=0{(x+b2a)+√b2−4ac2a}{(x+b2a)−√b2−4ac2a}=0x+b2a=±√b2−4ac2ax=−b±√b2−4ac2a
となります。
ここで√b2−4ac√b2−4acに着目すると、これが実数であるためにはb2−4ac≧0b2−4ac≧0である必要があるので、この条件を利用して実数解の個数を判別します。そのための式が判別式D=b2−4acD=b2−4acです。
- D>0D>0のとき、解はx=−b−√D2a,−b+√D2ax=−b−√D2a,−b+√D2aの2通りに分かれるので実数解は2個あります。
- D=0D=0のとき、解はx=−b−02a,x=−b+02ax=−b−02a,x=−b+02aとなるので、結局実数解はx=−b2ax=−b2aの1個だけになります。
- D<0D<0のとき、√D√Dは実数でなく虚数となるので、実数解は0個となる代わりに虚数解が2個あります。
2次方程式ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0のbbが偶数の場合を考えます。
このとき任意の整数b′b′をもちいてb=2b′b=2b′と表せるから、2次方程式ax2+2b′x+c=0ax2+2b′x+c=0の解の公式は
x=−2b′±√(2b′)2−4ac2a=−2b′±√4(b′2−ac)2a=−2b′±2√b′2−ac2a=−b′±√b′2−acax=−2b′±√(2b′)2−4ac2a=−2b′±√4(b′2−ac)2a=−2b′±2√b′2−ac2a=−b′±√b′2−aca
となります。
このことから2次方程式ax2+2b′x+c=0ax2+2b′x+c=0の判別式はb′2−acとなります。この判別式はDの中の特殊な例なのでD′と書かれたり、Dを4で割ったものに等しいのでD/4と書かれます。
2次方程式の解の公式と判別式
一般的な2次方程式ax2+bx+c=0
判別式
D=b2−4ac
解の公式
x=−b±√b2−4ac2a=−b±√D2a
1次の項の係数が偶数の2次方程式ax2+2b′x+c=0
判別式
D′=D/4=b′2−ac
解の公式
x=−b′±√b′2−aca=−b′±√D′a
判別式と解の個数の関係
- D,D′>0：実数解2個
- D,D′=0：実数解1個（重解）
- D,D′<0：実数解0個、虚数解2個
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