2次方程式の解の公式と判別式 ~ 数学について考えてみる

2022年8月8日

2次方程式の解の公式と判別式

PLUMBAGO

　2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

$ax^2+bx+c=0$ の解の公式は

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？
また、判別式 $D=b^2-4ac$ とはどのような関係があるのでしょうか？

　2次方程式の解の公式は以下のように導くことができます。

2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

$ax^2+bx+c=0$ の左辺を平方完成すると

\begin{aligned} a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c & = a [{x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}] + c \\ = a {x + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \end{aligned}

$\begin{align*}a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c&=a\left[\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\\[0.5em]&=a\left\{x+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\frac{b^2}{4a}+c\\[0.5em]&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align*}$

となるので、

x

$x$ について解くと

\begin{aligned} a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} & = 0 \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} & = 0 \\ {(x + \frac{b}{2 a}) + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}} {(x + \frac{b}{2 a}) - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}} & = 0 \\ x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}

$\begin{align*}a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\[0.5em]\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}&=0\\[0.5em]x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

となります。

　ここで

\sqrt{b^{2} - 4 a c}

$\sqrt{b^2-4ac}$ に着目すると、これが実数であるためには

b^{2} - 4 a c ≧ 0

$b^2-4ac\geqq0$ である必要があるので、この条件を利用して実数解の個数を判別します。そのための式が判別式

D = b^{2} - 4 a c

$D=b^2-4ac$ です。

$D>0$ のとき、解は $x=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a},\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ の2通りに分かれるので実数解は2個あります。
$D=0$ のとき、解は $x=\dfrac{-b-0}{2a},x=\dfrac{-b+0}{2a}$ となるので、結局実数解は $x=\dfrac{-b}{2a}$ の1個だけになります。
$D<0$ のとき、 $\sqrt{D}$ は実数でなく虚数となるので、実数解は0個となる代わりに虚数解が2個あります。

　2次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

$ax^2+bx+c=0$ の

b

$b$ が偶数の場合を考えます。

このとき任意の整数

b^{'}

$b'$ をもちいて

b = 2 b^{'}

$b=2b'$ と表せるから、2次方程式

a x^{2} + 2 b^{'} x + c = 0

$ax^2+2b'x+c=0$ の解の公式は

\begin{aligned} x & = \frac{- 2 b^{'} \pm \sqrt{(2 b^{'})^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- 2 b^{'} \pm \sqrt{4 (b^{' 2} - a c)}}{2 a} \\ = \frac{- 2 b^{'} \pm 2 \sqrt{b^{' 2} - a c}}{2 a} \\ = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{b^{' 2} - a c}}{a} \end{aligned}

$\begin{align*}x&=\frac{-2b'\pm\sqrt{(2b')^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]&=\frac{-2b'\pm\sqrt{4(b'^2-ac)}}{2a}\\[0.5em]&=\frac{-2b'\pm2\sqrt{b'^2-ac}}{2a}\\[0.5em]&=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\end{align*}$

となります。

このことから2次方程式 $ax^2+2b'x+c=0$ の判別式は $b'^2-ac$ となります。この判別式は $D$ の中の特殊な例なので $D'$ と書かれたり、 $D$ を $4$ で割ったものに等しいので $D/4$ と書かれます。