2次方程式を解く①（平方根として求める）

　2次方程式の解を平方根として求めることができます。

　ある数$A$を2乗して数$B$となる、すなわち$A^2=B$という式が成り立つとき、$B$からみて$A$は$B$の平方根となります。

2次方程式は上記の$A^2=B$のように何らかの数$A$の2乗と定数$B$を等号で結んだ形に変形することができるので、$B$に着目して$B$の平方根という形で$A$を導き出します。

　例えば、2次方程式

$$\large x^2=4$$

の場合、$x^2$が何らかの数$A$の2乗、$4$が定数$B$にあたります。
このことから$x$は$4$の平方根であり、それが$x^2=4$の解となります。

$4$の平方根は$-2$と$2$なので、解は

$$x=-2,2$$

あるいは複号をもちいた書き方で

$$x=\pm2$$

となります。

$x=-2,2$も$x=\pm2$も「（方程式を成り立たせる）$x$の値は$-2$と$2$である」という意味です。$-2$と$2$それぞれに$x=$をつけて書く場合は

$$x=-2またはx=2$$

となります。なぜなら、2次方程式$x^2=4$が成り立つのは$x$に$-2$か$2$のどちらか一方の値を代入したときだからです。

　2次方程式の解を平方根として求めるので$\sqrt{\ }$が現れる場合もあります。
例えば、2次方程式

$$\large 2x^2-36=0$$

を解くには、移項して

$$2x^2=36$$

とし、さらに両辺を$2$で割って

$$x^2=18$$

のように左辺に$x^2$、右辺に定数項がある形にすると、解は$18$の平方根となることがわかります。

$18$の平方根は$-\sqrt{18}$と$\sqrt{18}$なので、解は

$$x=\pm\sqrt{18}$$

ですが、$18=2×3^2$より$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$とより小さい数をもちいた簡単な書き方があるので、解は

$$x=\pm3\sqrt{2}$$

と書くようにします。

$$\large x^2+4x-6=0$$

のように1次の項が含まれる2次方程式の場合は平方完成を利用します。

関連：平方完成するには

$x^2+4x-6$を平方完成すると

$$\begin{align*}x^2+4x-6&=(x^2+4x)-6\\[0.5em]&=\bigl\{(x^2+4x+4)-4\bigr\}-6\\[0.5em]&=\bigl\{(x+2)^2-4\bigr\}-6\\[0.5em]&=(x+2)^2-10\end{align*}$$

となるので、2次方程式は

$$(x+2)^2-10=0$$

と書けます。さらに移項すれば

$$(x+2)^2=10$$

となります。

この式より、何らかの数$A$にあたるのは$x+2$で、これは定数$B$にあたる$10$の平方根であることがわかります。
$10$の平方根が$-\sqrt{10}$と$\sqrt{10}$であることより

$$x+2=\pm\sqrt{10}$$

と書けます。これを$x$について解けば

$$x=-2\pm\sqrt{10}$$

となります。これは他の書き方で

$$x=-2-\sqrt{10},-2+\sqrt{10}$$

や

$$x=-2-\sqrt{10}またはx=-2+\sqrt{10}$$

とも書けます。

　2次方程式の解を平方根として求めるとき、$x^2=0$や$(x-3)^2=0$のように何らかの数$A$に当たるものが$0$の平方根となる場合があります。この場合の2次方程式の解はただ1つとなり、この解のことを重解といいます。

　任意の2次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c:$定数、$a\neq0$）をこの方法で解くと

$$\begin{align*}ax^2+bx+c&=0\\[0.5em]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left[\left\{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left\{\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0\\[0.5em]\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\[0.5em]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[0.5em]x+\frac{b}{2a}&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]x&=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$$

となり、これが2次方程式の解の公式となります。

関連：2次方程式の解の公式と判別式

関連：2次方程式を解く②（因数分解を利用する）