正の数の累乗根の性質と大小関係は以下のようになります。
正の数の累乗根の性質1
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について
\[\large0<\sqrt[n]{a}<1\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に
\[\large\sqrt[n]{a}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について
\[\large1<\sqrt[n]{a}\]
正の数の累乗根の大小関係
$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\[\large\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の値にかかわらず常に
\[\large\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1\]
$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\[\large\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}\]
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について
\[\large\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\]
正の数の累乗根の性質2
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について
\[\large a\leqq\sqrt[n]{a}\quad(等号成立はn=1)\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に
\[\large a=\sqrt[n]{a}=1\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について
\[\large a\geqq\sqrt[n]{a}\quad(等号成立はn=1)\]
正の数$a$と自然数$n$について
\[\large\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\]
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
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