「べき乗とは？ ②整数乗（$0$乗、負の整数乗）」で指数の範囲を整数全体に拡張しました。
指数の範囲は、さらに有理数全体に拡張することができます。
指数の範囲は、さらに有理数全体に拡張することができます。
有理数乗の定義には累乗根を利用します。
累乗根
累乗根とは、自然数$n$とある数$a$について、$n$乗して$a$になる数の総称です。また、$a$の$n$乗根ともいいます。
正の数$a$の$n$乗根には、ただ1つの正の数であるものが必ず存在し、これを$\sqrt[n]{a}$と表します。
以上のことから、累乗根$\sqrt[n]{a}$には以下のことが成り立ちます。
\[\large\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n=a\tag{*}\]
また、累乗根には以下の計算法則が成り立ちます。
任意の正の実数$a,b$と任意の自然数$m,n$、任意の整数$k$について
\begin{align*}\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}&=\sqrt[n]{ab}\tag{i}\\[1em]\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\tag{ii}\\[1em]\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k&=\sqrt[n]{a^k}\tag{iii}\\[1em]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}&=\sqrt[mn]{a}\tag{iv}\\[1em]\sqrt[n]{a}&=\sqrt[mn]{a^m}\tag{v}\end{align*}
有理数乗の定義
整数乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$（$a\neq0$、$b,c:$整数）が、$b$が有理数のときも成り立つと考えます。
$b=\dfrac{1}{n},c=n$（$n:$自然数）のとき、
$a>0$に限定すると、$a^\frac{1}{n}$は$\text{(*)}$の$\sqrt[n]{a}$と同じ$a$の$n$乗根という性質をもつ数であるといえます。
\begin{align*}\bigl(a^\frac{1}{n}\bigr)^n&=a^{\frac{1}{n}\times
n}\\[0.5em]&=a^1\\[0.5em]&=a\end{align*}
となります。$a>0$に限定すると、$a^\frac{1}{n}$は$\text{(*)}$の$\sqrt[n]{a}$と同じ$a$の$n$乗根という性質をもつ数であるといえます。
このことから、$a^\frac{1}{n}$を以下のように定義します。
任意の正の数$a$と自然数$n$について
\[a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}\]
今度は任意の整数$m$を使って指数が任意の有理数$\dfrac{m}{n}$の場合、すなわち$a^\frac{m}{n}$を定義します。
成り立つとした整数乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より$a^\frac{m}{n}$は
\begin{align*}a^\frac{m}{n}&=a^{\frac{1}{n}\times
m}\\[0.5em]&=\bigl(a^\frac{1}{n}\bigr)^m\end{align*}
と書け、先ほどの$a^\frac{1}{n}$の定義より
\[a^\frac{m}{n}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^m\]
となります。
また、同様にして
\begin{align*}a^\frac{m}{n}&=a^{m\times\frac{1}{n}}\\[0.5em]&=\bigl(a^m\bigr)^\frac{1}{n}\end{align*}
と書け、$a^\frac{1}{n}$の定義より
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\]
となります。
$a^\frac{m}{n}$は解釈によって表す数が変わるように見えますが、累乗根の計算法則$\text{(iii)}$より
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^m=\sqrt[n]{a^m}\]
であるので、$a^\frac{m}{n}$の表す数はただ1つであることがわかります。これは、$a^\frac{1}{n}$でも同様です。
このことより、$a^\frac{m}{n}$は以下のように定義されます。
任意の正の数$a$と整数$m$、自然数$n$について
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\]
$m=kn$（$k:$整数）のとき、累乗根の計算法則$\text{(iii)}$と整数乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c$より
\begin{align*}a^\frac{kn}{n}&=\sqrt[n]{a^{kn}}\\[0.5em]&=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{kn}\\[0.5em]&=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
k}\\[0.5em]&=\left\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n}\right\}^k\\[0.5em]&=a^k\end{align*}
となり、問題なく指数の分数を整数に直すことができることがわかります。
既約分数$\dfrac{m}{n}$と可約分数$\dfrac{p}{q}$（$p:$整数、$q:$自然数）について$\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}$が成り立つとき、$a^\frac{m}{n}$と$a^\frac{p}{q}$は等しいのかについて考えます。
$\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}$より、自然数$k$をもちいて$p,q$には
\begin{cases}p=km\\[0.5em]q=kn\end{cases}
が成り立ちます。
すると、$a^\frac{p}{q}$は
\begin{align*}a^\frac{p}{q}&=a^\frac{km}{kn}\\[0.5em]&=\sqrt[kn]{a^{km}}\end{align*}
となり、累乗根の計算法則$\text{(v)}$より
\[\sqrt[kn]{a^{km}}=\sqrt[n]{a^m}\]
なので、
\[a^\frac{p}{q}=a^\frac{m}{n}\]
が成り立ち、指数の分数は約分もできることがわかります。
有理数乗の計算法則
このように定義すると、整数乗の計算法則を拡張した以下の有理数乗の計算法則が成り立ちます。
任意の正の数$a,p,q$と任意の有理数$b,c,k$について
※整数乗から有理数乗に拡張すると、有理数乗の定義の関係で底は$0$以外の任意の実数から正の数のみになります。
\begin{align*}a^b\times
a^c&=a^{b+c}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}\\[1em]\bigl(a^b\bigr)^c&=a^{bc}\\[1em](pq)^k&=p^k
q^k\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\frac{p^k}{q^k}\end{align*}
これらが成り立つことを1つ1つ確認していきます。（指数計算部分は大きく表示しています。）
$(1)\ a^b\times a^c=a^{b+c}$
$b=\dfrac{m_1}{n_1}, c=\dfrac{m_2}{n_2}$（$m_1, m_2:$整数、$n_1,
n_2:$自然数）のとき、この計算法則が成り立つのならば
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^\frac{m_1}{n_1}\times
a^\frac{m_2}{n_2}\\[0.5em]&=a^{\small\displaystyle\frac{m_1}{n_1}+\frac{m_2}{n_2}}\\[0.5em]&=a^{\small\dfrac{m_1
n_2+m_2 n_1}{n_1 n_2}}\end{align*}
となるはずです。
有理数乗の定義に従うと$a^b\times a^c$は
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^\frac{m_1}{n_1}\times
a^\frac{m_2}{n_2}\\[0.5em]&=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\times\sqrt[n_2]{a^{m_2}}\end{align*}
累乗根の計算法則$\text{(v)}$より
\begin{align*}\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\times\sqrt[n_2]{a^{m_2}}&=\sqrt[n_2\times
n_1]{a^{\large n_2\times m_1}}\times\sqrt[n_1\times n_2]{a^{\large
n_1\times m_2}}\\[0.5em]&=\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1
n_2}}\times\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_2 n_1}}\end{align*}
累乗根の計算法則$\text{(i)}$より
\[\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2}}\times\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_2
n_1}}=\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2}\times a^{\large m_2 n_1}}\]
整数乗の計算法則$a^b\times a^c=a^{b+c}$より
\[\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2}\times a^{\large m_2
n_1}}=\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2+m_2 n_1}}\]
そして、有理数乗の定義より
\[\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2+m_2 n_1}}=a^{\small\dfrac{m_1
n_2+m_2 n_1}{n_1 n_2}}\]
なので
\[a^b\times a^c=a^{\small\dfrac{m_1 n_2+m_2 n_1}{n_1 n_2}}\]
となります。
したがって、同じ結果を得るので計算法則$(1)$が成り立つことがわかります。
$(2)\ \dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$
$b=\dfrac{m_1}{n_1}, c=\dfrac{m_2}{n_2}$（$m_1, m_2:$整数、$n_1,
n_2:$自然数）のとき、この計算法則が成り立つのならば
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^\frac{m_1}{n_1}}{a^\frac{m_2}{n_2}}\\[0.5em]&=a^{\small\displaystyle\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2}}\\[0.5em]&=a^{\small\dfrac{m_1
n_2-m_2 n_1}{n_1 n_2}}\end{align*}
となるはずです。
有理数乗の定義に従うと$\dfrac{a^b}{a^c}$は
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^\frac{m_1}{n_1}}{a^\frac{m_2}{n_2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt[n_1]{a^{m_1}}}{\sqrt[n_2]{a^{m_2}}}\end{align*}
累乗根の計算法則$\text{(v)}$より
\begin{align*}\frac{\sqrt[n_1]{a^{m_1}}}{\sqrt[n_2]{a^{m_2}}}&=\frac{\sqrt[n_2\times
n_1]{a^{\large n_2\times m_1}}}{\sqrt[n_1\times n_2]{a^{\large
n_1\times m_2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1
n_2}}}{\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_2 n_1}}}\end{align*}
累乗根の計算法則$\text{(ii)}$より
\[\frac{\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2}}}{\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large
m_2 n_1}}}=\sqrt[n_1 n_2]{\frac{a^{\large m_1 n_2}}{a^{\large m_2
n_1}}}\]
整数乗の計算法則$\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$より
\[\sqrt[n_1 n_2]{\frac{a^{\large m_1 n_2}}{a^{\large m_2
n_1}}}=\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2-m_2 n_1}}\]
そして、有理数乗の定義より
\[\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 n_2-m_2 n_1}}=a^{\small\dfrac{m_1
n_2-m_2 n_1}{n_1 n_2}}\]
となります。
したがって、同じ結果を得るので計算法則$(2)$が成り立つことがわかります。
$(3)\ \bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$
$b=\dfrac{m_1}{n_1}, c=\dfrac{m_2}{n_2}$（$m_1, m_2:$整数、$n_1,
n_2:$自然数）のとき、この計算法則が成り立つのならば
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\left(a^\frac{m_1}{n_1}\right)^\frac{m_2}{n_2}\\[0.5em]&=a^{\small\displaystyle\frac{m_1}{n_1}\times\frac{m_2}{n_2}}\\[0.5em]&=a^{\small\dfrac{m_1
m_2}{n_1 n_2}}\end{align*}
となるはずです。
有理数乗の定義に従うと$\bigl(a^b\bigr)^c$は
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\left(a^\frac{m_1}{n_1}\right)^\frac{m_2}{n_2}\\[0.5em]&=\bigl(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\bigr)^\frac{m_2}{n_2}\\[0.5em]&=\sqrt[n_2]{\bigl(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\bigr)^{m_2}}\end{align*}
累乗根の計算法則$\text{(iii)}$より
\[\sqrt[n_2]{\bigl(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\bigr)^{m_2}}=\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{\bigl(a^{m_1}\bigr)^{m_2}}}\]
整数乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c$より
\[\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{\bigl(a^{m_1}\bigr)^{m_2}}}=\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{a^{\large
m_1 m_2}}}\]
累乗根の計算法則$\text{(iv)}$より
\[\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{a^{\large m_1 m_2}}}=\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large
m_1 m_2}}\]
そして、有理数乗の定義より
\[\sqrt[n_1 n_2]{a^{\large m_1 m_2}}=a^{\small\dfrac{m_1 m_2}{n_1
n_2}}\]
となります。
したがって、同じ結果を得るので計算法則$(3)$が成り立つことがわかります。
$(4)\ (pq)^k=p^k q^k$
$k=\dfrac{m}{n}$（$m:$整数、$n:$自然数）のとき、この計算法則が成り立つのならば
\begin{align*}(pq)^k&=(pq)^\frac{m}{n}\\[0.5em]&=p^\frac{m}{n}
q^\frac{m}{n}\end{align*}
となるはずです。
有理数乗の定義に従うと$(pq)^k$は
\begin{align*}(pq)^k&=(pq)^\frac{m}{n}\\[0.5em]&=\sqrt[n]{(pq)^m}\end{align*}
整数乗の計算法則$(pq)^n=p^n q^n$より
\[\sqrt[n]{(pq)^m}=\sqrt[n]{p^m q^m}\]
累乗根の計算法則$\text{(i)}$より
\[\sqrt[n]{p^m q^m}=\sqrt[n]{p^m}\times\sqrt[n]{q^m}\]
そして、有理数乗の定義より
\[\sqrt[n]{p^m}\times\sqrt[n]{q^m}=p^\frac{m}{n} q^\frac{m}{n}\]
となります。
したがって、同じ結果を得るので計算法則$(4)$が成り立つことがわかります。
$(5)\ \left(\dfrac{p}{q}\right)^k=\dfrac{p^k}{q^k}$
$k=\dfrac{m}{n}$（$m:$整数、$n:$自然数）のとき、この計算法則が成り立つのならば
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{m}{n}\\[0.5em]&=\frac{p^\frac{m}{n}}{q^\frac{m}{n}}\end{align*}
となるはずです。
有理数乗の定義に従うと$\left(\frac{p}{q}\right)^k$は
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\left(\frac{p}{q}\right)^\frac{m}{n}\\[0.5em]&=\sqrt[n]{\left(\frac{p}{q}\right)^m}\end{align*}
整数乗の計算法則$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n=\dfrac{p^n}{q^n}$より
\[\sqrt[n]{\left(\frac{p}{q}\right)^m}=\sqrt[n]{\frac{p^m}{q^m}}\]
累乗根の計算法則$\text{(ii)}$より
\[\sqrt[n]{\frac{p^m}{q^m}}=\frac{\sqrt[n]{p^m}}{\sqrt[n]{q^m}}\]
そして、有理数乗の定義より
\[\frac{\sqrt[n]{p^m}}{\sqrt[n]{q^m}}=\frac{p^\frac{m}{n}}{q^\frac{m}{n}}\]
となります。
したがって、同じ結果を得るので計算法則$(5)$が成り立つことがわかります。
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