正の数の累乗根の大小関係

　正の数やその整数乗の累乗根$\sqrt[n]{a}$の大小関係は以下のようになります。

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1, 1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}&(0<a<1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[0.5em]\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}&(1<a)\end{cases}

正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について

\begin{align*}0<a<1&\ \Rightarrow&&\left\{\begin{aligned}&\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}\\[0.5em]&\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}\end{aligned}\right.\\[1em]a=1&\ \Rightarrow&&\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\\[1em]1<a&\ \Rightarrow&&\left\{\begin{aligned}&\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}\\[0.5em]&\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}\end{aligned}\right.\end{align*}

正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について

\begin{align*}0<a<1&\ \Rightarrow&&\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}\\[1em]a=1&\ \Rightarrow&&\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1\\[1em]1<a&\ \Rightarrow&&\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}\end{align*}

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\]

正の数やその整数乗の累乗根の大小関係

　正の数$a$と$n≧2$である自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$をもちいた、$a, \sqrt[n]{a},$ $\sqrt[n]{a^p}, \sqrt[n]{a^q}$の大小関係について調べます。

$0<a<1$のとき

　$0<b<1$である正の数$b$の整数乗の大小関係は

\[0<\cdots<b^{n+1}<b^n<\cdots<b^1<b^0<b^{-1}<\cdots<b^{-n}<b^{-n-1}<\cdots\tag{i}\]

となります。
$b^0=1$であることから、$b^n$の値の範囲は$0<b^n<1$であることがわかります。

関連：正の数の累乗・整数乗の大小関係

ここで、$b^n=a$とおくと累乗根の定義より$b=\sqrt[n]{a}$となります。
これを$\text{(i)}$に代入すると

\[0<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n+1}<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^1<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^0<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-1}<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-n}<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-n-1}<\cdots\]

となり、累乗根の計算法則より

\begin{equation}0<\cdots<\sqrt[n]{a^{n+1}}<\sqrt[n]{a^n}<\cdots<\sqrt[n]{a^1}<\sqrt[n]{a^0}<\sqrt[n]{a^{-1}}<\cdots<\sqrt[n]{a^{-n}}<\sqrt[n]{a^{-n-1}}<\cdots\end{equation}

となります。

関連：累乗根とは？ 累乗根の計算法則

$(1)$より

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について、$\sqrt[n]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}$

であることがわかります。
また、$\sqrt[n]{a^n}=a, \sqrt[n]{a^1}=\sqrt[n]{a},$ $\sqrt[n]{a^0}=\sqrt[n]{1}=1$であることから、

$0<a<1$である正の数$a$と$n≧2$である自然数$n$、整数$p$について

\[0<a<\sqrt[n]{a}<1\]

\begin{cases}1<\sqrt[n]{a^p}&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p>0)\end{cases}

であることもわかります。

$a=1$のとき

　$a=1$のとき、$1$の整数乗も累乗根も$1$であることから、

$a=1$である正の数$a$と$n≧2$である自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について、$\sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1$

であることがわかります。
また、$p=1$のときも$\sqrt[n]{a^1}=\sqrt[n]{a}=1$となります。

$1<a$のとき

　$1<b$である正の数$b$の整数乗の大小関係は

\[0<\cdots<b^{-n-1}<b^{-n}<\cdots<b^{-1}<b^0<b^1<\cdots<b^n<b^{n+1}<\cdots\tag{ii}\]

となります。
$b^0=1$であることから、$b^n$の値の範囲は$1<b^n$であることがわかります。

ここで、$b^n=a$とおくと、累乗根の定義より$b=\sqrt[n]{a}$となります。
これを$\text{(ii)}$に代入すると

\[0<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-n-1}<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-n}<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-1}<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^0<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^1<\cdots<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n<\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n+1}<\cdots\]

となり、累乗根の計算法則より

\begin{equation}0<\cdots<\sqrt[n]{a^{-n-1}}<\sqrt[n]{a^{-n}}<\cdots<\sqrt[n]{a^{-1}}<\sqrt[n]{a^0}<\sqrt[n]{a^1}<\cdots<\sqrt[n]{a^n}<\sqrt[n]{a^{n+1}}<\cdots\end{equation}

となります。

$(2)$より、

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について、$\sqrt[n]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}$

であることがわかります。
また、$\sqrt[n]{a^n}=a, \sqrt[n]{a^1}=\sqrt[n]{a},$ $\sqrt[n]{a^0}=\sqrt[n]{1}=1$であることから、

$1<a$である正の数$a$と$n≧2$である自然数$n$について

\[1<\sqrt[n]{a}<a\]

\begin{cases}0<\sqrt[n]{a^p}<1&(p<0)\\[0.5em]\sqrt[n]{a^p}=1&(p=0)\\[0.5em]1<\sqrt[n]{a^p}&(p>0)\end{cases}

であることもわかります。

　自然数$n$は上ではいずれも$n≧2$であることが条件となっていますが、これは累乗根の基本的な定義が2乗以上の累乗をしてある数$a$になる数であるためです。
$n=1$のとき、すなわち正の数$a$の1乗根として$\sqrt[1]{a}$というものを定義に従って考えると

\[x^1=a\]

を満たす正の数$x$のこととなります。

累乗の定義より$x^1=x$なので、上記の式は

\[x=a\]

となり、正の数$a$の1乗根$\sqrt[1]{a}$は$a$自身のことであることがわかります。

このことから、$n=1$の場合も含めた正の数$a$とその累乗根の大小関係は以下のように書くことができます。

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq\sqrt[n]{a}<1&(0<a<1)\\[1em]a=\sqrt[n]{a}=1&(a=1)\\[1em]1<\sqrt[n]{a}\leqq a&(1<a)\end{cases}\\ &0<a<1, 1<aのときの等号成立条件はn=1\end{align*}

指数の異なる正の数の累乗根の大小関係

　正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$をもちいた$\sqrt[m]{a}, \sqrt[n]{a}$の大小関係を比を利用して調べます。

$0<a<1$のとき

　$\sqrt[m]{a}$と$\sqrt[n]{a}$はそれぞれ累乗根の計算法則より

\begin{align*}\sqrt[m]{a}&=\sqrt[n\times m]{a^n}\\[0.5em]&=\sqrt[mn]{a^n}\\[1em]\sqrt[n]{a}&=\sqrt[m\times n]{a^m}\\[0.5em]&=\sqrt[mn]{a^m}\end{align*}

となります。
すると、比$\dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}$は

\[\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\frac{\sqrt[mn]{a^n}}{\sqrt[mn]{a^m}}\]

となり、さらに累乗根の計算法則より

\[\frac{\sqrt[mn]{a^n}}{\sqrt[mn]{a^m}}=\sqrt[mn]{\frac{a^n}{a^m}}\]

整数乗の計算法則より

\[\sqrt[mn]{\frac{a^n}{a^m}}=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\]

と書けます。
すなわち、

\[\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\tag{iii}\]

となります。

関連：べき乗とは？　②整数乗（$0$乗、負の整数乗への拡張）

ここで、$m<n$より$n-m>0$なので、正の数の整数乗の大小関係より

\[0<a^{n-m}<1\]

であり、正の数の整数乗の累乗根の大小関係より

\[0<\sqrt[mn]{a^{n-m}}<1\]

となることがわかります。

$\text{(iii)}$より

\[0<\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}<1\]

となり、両辺に$\sqrt[n]{a}$を掛けると

\[0<\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}\]

となります。

したがって、

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について、$\sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}$

となることがわかります。

$a=1$のとき

　$a=1$のとき、$1$の累乗根は$1$であることから、

$a=1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$n$について、$\sqrt[m]{a}=\sqrt[n]{a}=1$

であることがわかります。

$1<a$のとき

　$0<a<1$のときと同様、比$\dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}$は

\[\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\tag{iii}\]

となります。（再掲）

ここで、$m<n$より$n-m>0$なので、正の数の整数乗の大小関係より

\[1<a^{n-m}\]

であり、正の数の整数乗の累乗根の大小関係より

\[1<\sqrt[mn]{a^{n-m}}\]

となることがわかります。

$\text{(iii)}$より

\[1<\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}\]

となり、両辺に$\sqrt[n]{a}$を掛けると

\[\sqrt[n]{a}<\sqrt[m]{a}\]

となります。

したがって、

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について、$\sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}$

となることがわかります。

指数の異なる正の数の整数乗の累乗根の大小関係

　正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$をもちいた$\sqrt[m]{a^p}, \sqrt[n]{a^q}$の大小関係を比を利用して調べます。

$0<a<1$のとき

　$\sqrt[m]{a^p}$と$\sqrt[n]{a^q}$はそれぞれ累乗根と整数乗の計算法則より

\begin{align*}\sqrt[m]{a^p}&=\sqrt[mn]{\bigl(a^p\bigr)^n}\\[0.5em]&=\sqrt[mn]{a^{np}}\\[1em]\sqrt[n]{a^q}&=\sqrt[mn]{\bigl(a^q\bigr)^m}\\[0.5em]&=\sqrt[mn]{a^{mq}}\end{align*}

となります。
すると、比$\dfrac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{a^q}}$は

\[\frac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{a^q}}=\frac{\sqrt[mn]{a^{np}}}{\sqrt[mn]{a^{mq}}}\]

となり、累乗根の計算法則より

\[\frac{\sqrt[mn]{a^{np}}}{\sqrt[mn]{a^{mq}}}=\sqrt[mn]{\frac{a^{np}}{a^{mq}}}\]

整数乗の計算法則より

\[\sqrt[mn]{\frac{a^{np}}{a^{mq}}}=\sqrt[mn]{a^{np-mq}}\]

と書けます。
すなわち、

\[\frac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{a^q}}=\sqrt[mn]{a^{np-mq}}\tag{iv}\]

となります。

ここで、正の数の整数乗の大小関係より

\begin{cases}1<a^{np-mq}&(np-mq<0)\\[0.5em]a^{np-mq}=1&(np-mq=0)\\[0.5em]0<a^{np-mq}<1&(np-mq>0)\end{cases}

であり、それぞれの場合は正の数の整数乗の累乗根の大小関係より

\begin{cases}1<\sqrt[mn]{a^{np-mq}}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[mn]{a^{np-mq}}=1&(np-mq=1)\\[0.5em]0<\sqrt[mn]{a^{np-mq}}<1&(np-mq>0)\end{cases}

となることがわかります。

$\text{(iv)}$を代入して各辺に$\sqrt[n]{a^q}$を掛けると、以下を得ることができます。

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}

$a=1$のとき

　$a=1$のとき、$1$の整数乗も累乗根も$1$であることから、

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について、$\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}=1$

であることがわかります。

$1<a$のとき

　$0<a<1$のときと同様、比$\dfrac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{a^q}}$は

\[\frac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{a^q}}=\sqrt[mn]{a^{np-mq}}\tag{iv}\]

となります。（再掲）

ここで、正の数の整数乗の大小関係より

\begin{cases}0<a^{np-q}<1&(np-mq<0)\\[0.5em]a^{np-mq}=1&(np-mq=0)\\[0.5em]1<a^{np-mq}&(np-mq>0)\end{cases}

であり、それぞれの場合は正の数の整数乗の累乗根の大小関係より

\begin{cases}0<\sqrt[mn]{a^{np-mq}}<1&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[mn]{a^{np-mq}}=1&(np-mq=1)\\[0.5em]1<\sqrt[mn]{a^{np-mq}}&(np-mq>0)\end{cases}

となることがわかります。

$\text{(iv)}$を代入して各辺に$\sqrt[n]{a^q}$を掛けると、以下を得ることができます。

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について

\begin{cases}\sqrt[m]{a^p}<\sqrt[n]{a^q}&(np-mq<0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}=\sqrt[n]{a^q}&(np-mq=0)\\[0.5em]\sqrt[m]{a^p}>\sqrt[n]{a^q}&(np-mq>0)\end{cases}

ちなみに、$np-mq$が正、$0$、負のどの値をとるのかは$m, n$の大小関係と$p, q$の大小関係からだけではわかりません。

仮に$m<n, p<q$であったとして、 $\text{(A)}\ m=1,n=2,p=1,q=2$と$\text{(B)}\ m=1,n=2,p=-2,q=-1$の場合を考えると、

$\text{(A)}$の場合

\begin{align*}np-mq&=2\times1-1\times2\\[0.5em]&=2-2\\[0.5em]&=0\end{align*}

$\text{(B)}$の場合

\begin{align*}np-mq&=2\times(-2)-1\times(-1)\\[0.5em]&=-4-(-1)\\[0.5em]&=-3\ <0\end{align*}

となり、$m, n, p, q$の大小関係は同じでも値によって$np-mq$は正、$0$、負のどの値をとるのかは決まらないことがわかります。

異なる正の数の累乗根の大小関係

　$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$をもちいた$\sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{b}$の大小関係を比を利用して調べます。

比$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$は、累乗根の計算法則より

\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\tag{v}\]

となります。

$a>0, b>0$かつ$a<b$より$0<\dfrac{a}{b}<1$なので、正の数の累乗根の大小関係より

\[0<\sqrt[n]{\frac{a}{b}}<1\]

$\text{(v)}$より

\[0<\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}<1\]

となり、各辺に$\sqrt[n]{b}$を掛けると

\[0<\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\]

となります。

したがって、

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について、$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$

となることがわかります。

　ちなみに、さらに自然数$m$、整数$p, q$をもちいた$\sqrt[m]{a^p},\sqrt[n]{b^q}$の大小関係については簡単には知ることができません。

$\sqrt[m]{a^p}, \sqrt[n]{b^q}$はそれぞれ累乗根の計算法則より

\begin{align*}\sqrt[m]{a^p}&=\sqrt[mn]{a^{np}}\\[1em]\sqrt[n]{b^q}&=\sqrt[mn]{b^{mq}}\end{align*}

となるため、比$\dfrac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{b^q}}$は

\[\frac{\sqrt[m]{a^p}}{\sqrt[n]{b^q}}=\frac{\sqrt[mn]{a^{np}}}{\sqrt[mn]{b^{mq}}}\]

となり、さらに累乗根の計算法則より

\[\frac{\sqrt[mn]{a^{np}}}{\sqrt[mn]{b^{mq}}}=\sqrt[mn]{\frac{a^{np}}{b^{mq}}}\]

となります。

$\sqrt[m]{a^p},\sqrt[n]{b^q}$の大小関係は、$\dfrac{a^{np}}{b^{mq}}$の値、すなわち$a^{np}, b^{mq}$の大小関係によって決まりますが、これらは正の数の整数乗の大小関係において、簡単には知ることができない対象です。
したがって、$\sqrt[m]{a^p},\sqrt[n]{b^q}$の大小関係は、まず$a^{np}, b^{mq}$の大小関係をどうにかして調べないと知ることはできません。

関連：正の数の累乗・整数乗の大小関係

関連：累乗根とは？ 累乗根の計算法則