累乗根とは、自然数$n$と任意の数$a$について、$n$乗して$a$になる数の総称です。
言い換えると、自然数$n$と任意の数$a$についての方程式
$x$は$a$の$n$乗根というように呼ばれます。任意の自然数$n$における$n$乗根は累乗根と同じ意味です。
\[\large x^n=a\]
を満たす$x$が累乗根です。$x$は$a$の$n$乗根というように呼ばれます。任意の自然数$n$における$n$乗根は累乗根と同じ意味です。
$a$が正の数のとき、$a$の$n$乗根は正の数の中に必ずただ1つ存在します。この正の数である$a$の$n$乗根を$\sqrt[n]{a}$と書きます。
また、$a$が負の数のとき、$n$が奇数の場合に限り$a$の$n$乗根は負の数の中に必ずただ1つ存在します。この負の数である$a$の$n$乗根もまた$\sqrt[n]{a}$と書くことができます。
$\sqrt[n]{a}$は上記の方程式を満たすので
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n=a\]
が成り立ちます。
$a=0$のとき、すなわち$0$の$n$乗根は$0$となります。
累乗根の計算法則
累乗根には以下のような計算法則があります。
これらを1つ1つ確認していきます。
任意の正の実数$a,b$と任意の自然数$m,n$、任意の整数$k$について
\begin{align}\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}&=\sqrt[n]{ab}\\[1em]\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\[1em]\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k&=\sqrt[n]{a^k}\\[1em]\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}&=\sqrt[mn]{a}\\[1em]\sqrt[n]{a}&=\sqrt[mn]{a^m}\\[1em]\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}&=\sqrt[mn]{a^{m
+n}}\\[1em]\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}&=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\end{align}
$(1)\ \sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
$\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=A$とおきます。$\cdots\text{(i)}$
累乗根の定義より、$a>0, b>0$なので$\sqrt[n]{a}>0, \sqrt[n]{b}>0$です。
また、このことから$\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}>0$であり、$A>0$です。
累乗根の定義より、$a>0, b>0$なので$\sqrt[n]{a}>0, \sqrt[n]{b}>0$です。
また、このことから$\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}>0$であり、$A>0$です。
$\text{(i)}$の両辺を$n$乗すると
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}\bigr)^n=A^n\]
となります。
累乗の計算法則$(ab)^n=a^n b^n$より
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\times\bigl(\sqrt[n]{b}\bigr)^n=A^n\]
$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n=a$なので
\begin{align*}a\times b&=A^n\\[0.5em]\therefore
A^n&=ab\end{align*}
となります。
$a>0,b>0$より$ab>0$、$A>0$なので、累乗根の定義より
\[A=\sqrt[n]{ab}\tag{ii}\]
と書けます。
$\text{(i), (ii)}$より
\[\large\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]
が成り立つことがわかります。
$(2)\ \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=B$とおきます。$\cdots\text{(iii)}$
累乗根の定義より、$a>0, b>0$なので$\sqrt[n]{a}>0, \sqrt[n]{b}>0$です。
また、このことから$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}>0$であり、$B>0$です。
累乗根の定義より、$a>0, b>0$なので$\sqrt[n]{a}>0, \sqrt[n]{b}>0$です。
また、このことから$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}>0$であり、$B>0$です。
$\text{(iii)}$の両辺を$n$乗すると
\[\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n=B^n\]
累乗の計算法則$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$より
\begin{align*}\frac{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n}{\bigl(\sqrt[n]{b}\bigr)^n}&=B^n\\[0.5em]\therefore
B^n&=\frac{a}{b}\end{align*}
となります。
$a>0,b>0$より$\dfrac{a}{b}>0$、$B>0$なので、累乗根の定義より
\[B=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\tag{iv}\]
と書けます。
$\text{(iii), (iv)}$より
\[\large\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]
が成り立つことがわかります。
$(3)\ \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=\sqrt[n]{a^k}$
$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=C$とおきます。$\cdots\text{(v)}$
$k$が正の数のとき
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k>0$であり、$C>0$です。
また、このことから$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k>0$であり、$C>0$です。
$\text{(v)}$の両辺を$n$乗すると
\[\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k\Bigr\}^n=C^n\]
累乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{kn}&=C^n\\[0.5em]\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
k}&=C^n\\[0.5em]\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^k&=C^n\\[0.5em]\therefore
C^n&=a^k\end{align*}
となります。
$a>0$より$a^k>0$、$C>0$なので、累乗根の定義より
\[C=\sqrt[n]{a^k}\tag{vi}\]
と書けます。
$\text{(v), (vi)}$より、任意の正の数$k$において
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=\sqrt[n]{a^k}\]
が成り立つことがわかります。
$k$が負の数のとき
$k=-k'$（$k':$自然数）とおくと、$\text{(v)}$は負の整数乗の定義$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$より
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-k'}&=C\\[0.5em]\frac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}}&=C\tag*{(v)'}\end{align*}
となります。
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}>0, \dfrac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}}>0$であり、$C>0$です。
また、このことから$\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}>0, \dfrac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}}>0$であり、$C>0$です。
$\text{(v)'}$の両辺を$n$乗すると
\[\left\{\frac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}}\right\}^n=C^n\]
累乗の計算法則$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n=\dfrac{p^n}{q^n}$より
\begin{align*}\frac{1^n}{\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}\Bigr\}^n}&=C^n\\[0.5em]\frac{1}{\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}\Bigr\}^n}&=C^n\end{align*}
累乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\frac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'
n}}&=C^n\\[0.5em]\frac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
k'}}&=C^n\\[0.5em]\frac{1}{\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^{k'}}&=C^n\\[0.5em]\therefore
C^n&=\frac{1}{a^{k'}}\end{align*}
となります。
$a>0$より$a^{k'}>0,\dfrac{1}{a^{k'}}>0$、$C>0$なので、累乗根の定義より
\[C=\sqrt[n]{\frac{1}{a^{k'}}}\tag*{(vi)'}\]
と書けます。
$\text{(v)', (vi)'}$より
\[\frac{1}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{k'}}=\sqrt[n]{\frac{1}{a^{k'}}}\]
が成り立つことがわかります。
さらに、負の整数乗の定義より
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{-k'}&=\sqrt[n]{a^{-k'}}\\[0.5em]\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k&=\sqrt[n]{a^k}\end{align*}
となるため、任意の負の整数$k$において
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=\sqrt[n]{a^k}\]
が成り立つことがわかります。
$k=0$のとき
$\text{(v)}$に$k=0$を代入すると
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^0=\sqrt[n]{a^0}\]
$a>0$より$\sqrt[n]{a}>0$であり、$0$乗の定義より$a^0=1$（$a\neq0$）なので
\[1=1\]
となることから$k=0$のときも
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=\sqrt[n]{a^k}\]
が成り立つことがわかります。
以上より、任意の整数$k$において
\[\large\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^k=\sqrt[n]{a^k}\]
が成り立つことがわかります。
$(3)$より、$k=n$のとき
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n&=\sqrt[n]{a^n}\\[0.5em]\therefore\sqrt[n]{a^n}&=a\end{align*}
$k=pn$（$p:$整数）のとき、整数乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$を利用して
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{pn}&=\sqrt[n]{a^{pn}}\\[0.5em]\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
p}&=\sqrt[n]{a^{pn}}\\[0.5em]\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^p&=\sqrt[n]{a^{pn}}\\[0.5em]\therefore\sqrt[n]{a^{pn}}=a^p\end{align*}
が成り立つことがわかります。
ただし、$a>0$の場合であることに注意してください。
平方根の公式
平方根の公式
\[\sqrt{a^2}=|a|\]
を思い浮かべた方がいるかもしれませんが、この公式の$a$は$0$以外の任意の実数です。
$(4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=D$とおきます。$\cdots\text{(vii)}$
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}>0$であり、$D>0$です。
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}>0$であり、$D>0$です。
$\text{(vii)}$の両辺を$mn$乗すると
\[\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^{mn}=D^{mn}\]
累乗の計算法則$\left(a^b\right)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\left\{\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^m\right\}^n&=D^{mn}\\[0.5em]\left(\sqrt[n]{a}\right)^n&=D^{mn}\\[0.5em]\therefore
D^{mn}&=a\end{align*}
となります。
$a>0$、$D>0$なので、累乗の定義より
\[D=\sqrt[mn]{a}\tag{viii}\]
と書けます。
$\text{(vii), (viii)}$より
\[\large\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]
が成り立つことがわかります。
$(5)\ \sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^m}$
$\sqrt[n]{a}=E$とおきます。$\cdots\text{(ix)}$
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$であり、$E>0$です。
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[n]{a}>0$であり、$E>0$です。
$\text{(ix)}$の両辺を$mn$乗すると
\[\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{mn}=E^{mn}\]
累乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
m}&=E^{mn}\\[0.5em]\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^m&=E^{mn}\\[0.5em]\therefore
E^{mn}&=a^m\end{align*}
となります。
$a>0$より$a^k>0$、$E>0$なので、累乗の定義より
\[E=\sqrt[mn]{a^m}\tag{x}\]
と書けます。
$\text{(ix), (x)}$より
\[\large \sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^m}\]
が成り立つことがわかります。
$(6)\ \sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^{m+n}}$
$\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}=F$とおきます。$\cdots\text{(xi)}$
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[m]{a}>0, \sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}>0$であり、$F>0$です。
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[m]{a}>0, \sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}>0$であり、$F>0$です。
$\text{(xi)}$の両辺を$mn$乗すると
\[\bigl(\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}\bigr)^{mn}=F^{mn}\]
累乗の計算法則$(pq)^n=p^n q^n$より
\[\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^{mn}\times\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{mn}=F^{mn}\]
累乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^{m\times
n}\times\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
m}&=F^{mn}\\[0.5em]\Bigl\{\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^m\Bigr\}^n\times\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^m&=F^{mn}\\[0.5em]a^n\times
a^m&=F^{mn}\end{align*}
累乗の計算法則$a^b\times a^c=a^{b+c}$より
\begin{align*}a^{n +m}&=F^{mn}\\[0.5em]\therefore
F^{mn}&=a^{m+n}\end{align*}
となります。
$a>0$より$a^{m+n}>0$、$F>0$なので、累乗根の定義より
\[F=\sqrt[mn]{a^{m+n}}\tag{xii}\]
と書けます。
$\text{(xi), (xii)}$より
\[\large\sqrt[m]{a}\times\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^{m+n}}\]
が成り立つことがわかります。
$m=n$のとき、$(6)$は
\[\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{a}=\sqrt[n^2]{a^{2n}}\]
となりますが、$(5)$より
\[\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{a}=\sqrt[n^2]{a^{2n}}\]
となりますが、$(5)$より
\begin{align*}\sqrt[n^2]{a^{2n}}&=\sqrt[n\times
n]{a^{n\times2}}\\[0.5em]&=\sqrt[n]{a^2}\end{align*}
すなわち、
\[\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a^2}\]
となり、$(1)$および$(3)$と同じ結果を得ることがわかります。
$(7)\ \dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a^{m-n}}$
$\dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=G$とおきます。$\cdots\text{(xiii)}$
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[m]{a}>0, \sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}>0$であり、$G>0$です。
累乗根の定義より、$a>0$なので$\sqrt[m]{a}>0, \sqrt[n]{a}>0$です。
また、このことから$\dfrac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}>0$であり、$G>0$です。
$\text{(xiii)}$の両辺を$mn$乗すると
\[\left(\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}\right)^{mn}=G^{mn}\]
累乗の計算法則$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n=\dfrac{p^n}{q^n}$より
\[\frac{\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^{mn}}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{mn}}=G^{mn}\]
累乗の計算法則$\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$より
\begin{align*}\frac{\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^{m\times
n}}{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n\times
m}}&=G^{mn}\\[0.5em]\frac{\Bigl\{\bigl(\sqrt[m]{a}\bigr)^m\Bigr\}^n}{\Bigl\{\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^n\Bigr\}^m}&=G^{mn}\\[0.5em]\frac{a^n}{a^m}&=G^{mn}\end{align*}
整数乗の計算法則$\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$より
\[G^{mn}=a^{n-m}\]
となります。
$a>0$より$a^{n-m}>0$、$G>0$なので、累乗根の定義より
\[G=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\tag{xiv}\]
と書けます。
$\text{(xiii), (xiv)}$より
\[\large\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a^{n-m}}\]
が成り立つことがわかります。
$m=n$のとき、$(6)$は
\begin{align*}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}&=\sqrt[n^2]{a^{0}}\\[0.5em]&=\sqrt[n]{1}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となり、分数の性質
\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}=1\]
と同じ結果を得ます。
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