定積分の性質 King Property

　定積分の性質にKing Propertyと呼ばれるものがあります。
これは

\[\large\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]

が成り立つというものです。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

　$\displaystyle\int_a^b{f(x)}dx$は$y=f(x)$のグラフと直線$x=a, x=b$、x軸に囲まれた図形（以下、図形$\text{A}$）の面積、$\displaystyle\int_a^b{f(a+b-x)}dx$は$y=f(a+b-x)$のグラフと直線$x=a, x=b$、x軸に囲まれた図形（以下、図形$\text{B}$）の面積を表します。

　$y=f(x)$と$y=f(a+b-x)$に着目します。

$y=f(x)$のグラフを直線$x=α$に関して対称移動させた後のグラフの方程式は$y=f(2α-x)$と書けます。

関連：関数のグラフの対称移動

このことから、$y=f(a+b-x)$のグラフは$y=f(x)$のグラフを直線$x=\dfrac{a+b}{2}$に関して対称移動したものとなります。

次に直線$x=\dfrac{a+b}{2}$に着目すると、$\dfrac{a+b}{2}$は区間$[a, b]$の中央値であるから、直線$x=a$と$x=b$はそれぞれ直線$x=\dfrac{a+b}{2}$からの距離が等しい、すなわち直線$x=a$と$x=b$は直線$x=\dfrac{a+b}{2}$に関して対称であることがわかります。

したがって、図形$\text{A}$と図形$\text{B}$は直線$x=\dfrac{a+b}{2}$に関して対称であり、各図形は合同であることがわかります。

ところで、図形をy軸に平行な直線で細かく分割し、各部分を長方形で近似して長方形の面積の総和として元の図形の面積を求めるというのが定積分の大まかな考え方です。
このとき、長方形の各辺の長さはそれぞれx軸方向、y軸方向を正とする符号を考慮した長さとなるため、面積もまた符号を考慮した値となります。

関連：定積分の値が負の値になることがあるのはなぜなのか？

図形$\text{A}$と図形$\text{B}$は合同なので、少なくとも面積の絶対値が等しいことがわかります。
面積の符号が一致しているのかは近似した長方形の各辺の長さのとる方向によって決まります。

$y=f(x)$のグラフと$y=f(a+b-x)$のグラフが直線$x=\dfrac{a+b}{2}$に関して対称であるということは、対応するグラフ上の点のy座標は等しい、すなわち図形$\text{A}$と図形$\text{B}$の対応する近似した長方形のy軸に平行な辺の長さは同じ方向にとっていることがわかります。
あとは、近似した長方形のx軸に平行な辺の長さを同じ方向にとっていることがわかれば各図形の面積は等しいといえます。

そこで、近似した長方形のx軸に平行な辺の長さのとる方向について調べてみると、$\displaystyle\int_a^b{f(x)}dx$と$\displaystyle\int_a^b{f(a+b-x)}dx$はともに定積分の向きが$a$から$b$、すなわち近似した長方形のx軸に平行な辺の長さを同じ方向にとっています。

したがって、図形$\text{A}$と図形$\text{B}$の面積が等しい、すなわち

\[\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]

が成り立つことがわかります。

　King Propertyは置換積分によって確かに成り立つことがわかります。

$\displaystyle\int_a^b{f(a+b-x)}dx$という$x$の定積分を

\begin{equation}a+b-x=t\end{equation}

とおくことで$t$の定積分に置換します。

$(1)$は$x=a$のとき

\begin{align*}a+b -a&=t\\[0.5em]\therefore t&=b\end{align*}

$x=b$のとき

\begin{align*}a+b -b&=t\\[0.5em]\therefore t&=a\end{align*}

となります。すなわち、$x$の$a$から$b$までの定積分は$t$の$b$から$a$までの定積分に置換されます。

また、$(1)$の両辺を$x$で微分すると

\begin{align*}\frac{d}{dx}(a+b-x)&=\frac{dt}{dx}\\[0.5em]-1&=\frac{dt}{dx}\\[0.5em]-dx&=dt\\[0.5em]\therefore dx&=-dt\end{align*}

となります。

以上から、$\displaystyle\int_a^b{f(a+b-x)}dx$を$t$の定積分に置換すると

\begin{align*}\int_a^b{f(a+b-x)}dx&=\int_\textcolor{red}{b}^\textcolor{red}{a}{f(t)}(-dt)\\[0.5em]&=\int_b^a\bigl\{-f(t)\bigr\}dt\\[0.5em]&=-\int_b^a{f(t)}dt\end{align*}

となります。

ここで、定積分の性質

\[\int_a^b{f(x)}dx=-\int_\textcolor{red}{b}^\textcolor{red}{a}{f(x)}dx\]

より

\[-\int_b^a{f(t)}dt=\int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{red}{b}{f(t)}dt\]

となるので、

\[\int_a^b{f(a+b-x)}dx=\int_a^b{f(t)}dt\]

が成り立ちます。
$\displaystyle\int_a^b{f(t)}dt$は$\displaystyle\int_a^b{f(x)}dx$の積分変数$x$を$t$に変えただけなので定積分の値は変わりません。

したがって、$\displaystyle\int_a^b{f(t)}dt=\displaystyle\int_a^b{f(x)}dx$より

\[\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]

が成り立ちます。