∫32[x] dx([ ]:ガウス記号)∫32[x] dx([ ]:ガウス記号)
この定積分はどのような値となるでしょうか?
[x][x](この関数は床関数といい、⌊x⌋⌊x⌋とも書きます。)の値は以下のように決まります。
n≦x<n+1(n:整数)のとき[x]=nn≦x<n+1(n:整数)のとき[x]=n
すなわち、[x][x]の値はxx以下の最大の整数となります。
したがって、積分区間2≦x≦32≦x≦3において[x][x]の値は
この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。
[x]={2(2≦x<3)⋯(i)3(x=3)⋯(ii)[x]={2(2≦x<3)⋯(i)3(x=3)⋯(ii)
となります。この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。
しかし、ここで注意したいのは積分可能なのは閉区間a≦x≦ba≦x≦bで関数が連続な場合ということです。
[x][x]は(i)(i)の区間2≦x<32≦x<3で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分(の異常積分)をもちいます。
[x][x]は(i)(i)の区間2≦x<32≦x<3で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分(の異常積分)をもちいます。
∫32[x] dx=limε→−0∫3+ε2[x] dx+∫33[x] dx=limε→−0∫3+ε22 dx+∫333 dx=limε→−0[2x]3+ε2+0=limε→−0{2(3+ε)−2⋅2}=6−4=2∫32[x] dx=limε→−0∫3+ε2[x] dx+∫33[x] dx=limε→−0∫3+ε22 dx+∫333 dx=limε→−0[2x]3+ε2+0=limε→−0{2(3+ε)−2⋅2}=6−4=2
上記途中式の1行目、最初の項が(i)の積分にあたり、異常積分をもちいています。最後の項が(ii)の定積分にあたります。
この結果から
∫32[x] dx=∫322 dx∫32[x] dx=∫322 dx
が成り立つことがわかります。
また、これを一般化して積分区間n≦x≦n+1n≦x≦n+1の定積分について
∫n+1n[x] dx=∫n+1nn dx∫n+1n[x] dx=∫n+1nn dx
が成り立ちます。
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