\[\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)\]
この定積分はどのような値となるでしょうか？
$[x]$（この関数は床関数といい、$\lfloor
x\rfloor$とも書きます。）の値は以下のように決まります。
\begin{align*}n\leqq x<n+1&\quad(n:整数)のとき\\
[x]&=n\end{align*}
すなわち、$[x]$の値は$x$以下の最大の整数となります。
したがって、積分区間$2\leqq x\leqq3$において$[x]$の値は
この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。
\[[x]=\begin{cases}2&(2\leqq
x<3)&\cdots(\mathrm{i})\\[0.5em]3&(x=3)&\cdots(\mathrm{ii})\end{cases}\]
となります。この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。
しかし、ここで注意したいのは積分可能なのは閉区間$a\leqq x\leqq
b$で関数が連続な場合ということです。
$[x]$は$\mathrm{(i)}$の区間$2\leqq
x<3$で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分（の異常積分）をもちいます。
\begin{align*}\int^3_2[x]\
dx&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 [x]\ dx+\int^3_3 [x]\
dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 2\
dx+\int^3_3 3\
dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\Bigl[2x\Bigr]^{3+\varepsilon}_2+0\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\bigl\{2(3+\varepsilon)-2\cdot2\bigr\}\\[0.5em]&=6-4\\[0.5em]&=2\end{align*}
上記途中式の1行目、最初の項が(i)の積分にあたり、異常積分をもちいています。最後の項が(ii)の定積分にあたります。
この結果から
\[\int^3_2[x]\ dx=\int^3_2 2\ dx\]
が成り立つことがわかります。
また、これを一般化して積分区間$n\leqq x\leqq n+1$の定積分について
\[\int^{n+1}_n[x]\ dx=\int^{n+1}_n n\ dx\]
が成り立ちます。
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