[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分

$$\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)$$
この定積分はどのような値となるでしょうか？

　$[x]$（この関数は床関数といい、$\lfloor x\rfloor$とも書きます。）の値は以下のように決まります。

$$\begin{align*}n\leqq x<n+1&\quad(n:整数)のとき\\ [x]&=n\end{align*}$$

すなわち、$[x]$の値は$x$以下の最大の整数となります。

したがって、積分区間$2\leqq x\leqq3$において$[x]$の値は

$$[x]=\begin{cases}2&(2\leqq x<3)&\cdots(\mathrm{i})\\[0.5em]3&(x=3)&\cdots(\mathrm{ii})\end{cases}$$

となります。
この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。

しかし、ここで注意したいのは積分可能なのは閉区間$a\leqq x\leqq b$で関数が連続な場合ということです。
$[x]$は$\mathrm{(i)}$の区間$2\leqq x<3$で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分（の異常積分）をもちいます。

$$\begin{align*}\int^3_2[x]\ dx&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 [x]\ dx+\int^3_3 [x]\ dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 2\ dx+\int^3_3 3\ dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\Bigl[2x\Bigr]^{3+\varepsilon}_2+0\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\bigl\{2(3+\varepsilon)-2\cdot2\bigr\}\\[0.5em]&=6-4\\[0.5em]&=2\end{align*}$$

上記途中式の1行目、最初の項が(i)の積分にあたり、異常積分をもちいています。最後の項が(ii)の定積分にあたります。

この結果から

$$\int^3_2[x]\ dx=\int^3_2 2\ dx$$
が成り立つことがわかります。

また、これを一般化して積分区間$n\leqq x\leqq n+1$の定積分について

$$\int^{n+1}_n[x]\ dx=\int^{n+1}_n n\ dx$$

が成り立ちます。

関連：床関数と天井関数