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2023年5月17日

[x]([ ]:ガウス記号)の定積分

32[x] dx([ ]:)32[x] dx([ ]:)
この定積分はどのような値となるでしょうか?


 [x][x](この関数は床関数といい、xxとも書きます。)の値は以下のように決まります。
nx<n+1(n:)[x]=nnx<n+1(n:)[x]=n
すなわち、[x][x]の値はxx以下の最大の整数となります。
したがって、積分区間2x32x3において[x][x]の値は
[x]={2(2x<3)(i)3(x=3)(ii)[x]={2(2x<3)(i)3(x=3)(ii)
となります。
この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。
しかし、ここで注意したいのは積分可能なのは閉区間axbaxbで関数が連続な場合ということです。
[x][x](i)(i)の区間2x<32x<3で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分(の異常積分)をもちいます。
32[x] dx=limε03+ε2[x] dx+33[x] dx=limε03+ε22 dx+333 dx=limε0[2x]3+ε2+0=limε0{2(3+ε)22}=64=232[x] dx=limε03+ε2[x] dx+33[x] dx=limε03+ε22 dx+333 dx=limε0[2x]3+ε2+0=limε0{2(3+ε)22}=64=2
上記途中式の1行目、最初の項が(i)の積分にあたり、異常積分をもちいています。最後の項が(ii)の定積分にあたります。

この結果から
32[x] dx=322 dx32[x] dx=322 dx
が成り立つことがわかります。

また、これを一般化して積分区間nxn+1nxn+1の定積分について
n+1n[x] dx=n+1nn dxn+1n[x] dx=n+1nn dx
が成り立ちます。

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