[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分 ~ 数学について考えてみる

2023年5月17日

[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分

PLUMBAGO

$\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)$
この定積分はどのような値となるでしょうか？

[x]

$[x]$ （この関数は床関数といい、

⌊ x ⌋

$\lfloor x\rfloor$ とも書きます。）の値は以下のように決まります。

\begin{aligned} n ≦ x < n + 1 & (n : 整 数) の と き \\ [x] & = n \end{aligned}

$\begin{align*}n\leqq x<n+1&\quad(n:整数)のとき\\ [x]&=n\end{align*}$

すなわち、

[x]

$[x]$ の値は

x

$x$ 以下の最大の整数となります。

したがって、積分区間

2 ≦ x ≦ 3

$2\leqq x\leqq3$ において

[x]

$[x]$ の値は

[x] = {\begin{cases} 2 & (2 ≦ x < 3) & \dots (i) \\ 3 & (x = 3) & \dots (i i) \end{cases}

$[x]=\begin{cases}2&(2\leqq x<3)&\cdots(\mathrm{i})\\[0.5em]3&(x=3)&\cdots(\mathrm{ii})\end{cases}$

となります。
この場合分けに従って上記の定積分を2つに分けて考えます。

しかし、ここで注意したいのは積分可能なのは閉区間

a ≦ x ≦ b

$a\leqq x\leqq b$ で関数が連続な場合ということです。

[x]

$[x]$ は

(i)

$\mathrm{(i)}$ の区間

2 ≦ x < 3

$2\leqq x<3$ で連続ではありますが、閉区間でないので積分可能ではありません。
そこで広義積分（の異常積分）をもちいます。

\begin{aligned} \int_{2}^{3} [x] d x & = lim_{ε \to - 0} \int_{2}^{3 + ε} [x] d x + \int_{3}^{3} [x] d x \\ = lim_{ε \to - 0} \int_{2}^{3 + ε} 2 d x + \int_{3}^{3} 3 d x \\ = lim_{ε \to - 0} [2 x]_{2}^{3 + ε} + 0 \\ = lim_{ε \to - 0} {2 (3 + ε) - 2 \cdot 2} \\ = 6 - 4 \\ = 2 \end{aligned}

$\begin{align*}\int^3_2[x]\ dx&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 [x]\ dx+\int^3_3 [x]\ dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\int^{3+\varepsilon}_2 2\ dx+\int^3_3 3\ dx\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\Bigl[2x\Bigr]^{3+\varepsilon}_2+0\\[0.5em]&=\lim_{\varepsilon\to-0}\bigl\{2(3+\varepsilon)-2\cdot2\bigr\}\\[0.5em]&=6-4\\[0.5em]&=2\end{align*}$

上記途中式の1行目、最初の項が(i)の積分にあたり、異常積分をもちいています。最後の項が(ii)の定積分にあたります。

この結果から
$\int^3_2[x]\ dx=\int^3_2 2\ dx$
が成り立つことがわかります。