複素数の偏角とarg・Arg ~ 数学について考えてみる

複素数の偏角

0

$0$ でない複素数

z

$z$ の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点

z

$z$ を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角（一般角）のことです。

0

$0$ の偏角は定義できません。

複素数

z

$z$ の偏角にはその動径が表す角度すべてが当てはまるので、動径の表す角度の1つを

θ

$θ$ としたならばそれに

2 π

$2\pi$ の整数倍を加えたもの、すなわち

θ + 2 n π

$θ+2n\pi$ （

n :

$n:$ 整数）で表される角度すべてが複素数

z

$z$ の偏角となります。

したがって、複素数

z

$z$ の極形式が

z = r e^{i θ}

$z=re^{iθ}$ であるならば

z = r e^{i θ} = r e^{i (θ + 2 n π)} (n : 整 数)

$z=re^{i\theta}=re^{i(\theta+2n\pi)}\quad(n:整数)$

が成り立ちます。

- π < θ ≦ π

$-\pi<θ\leqq\pi$ または

0 ≦ θ < 2 π

$0\leqqθ<2\pi$ となるようにとった

θ

$θ$ のことを主値といい、これをもちいることで動径の表す角度をただ1つに決めることができます。

複素数

z

$z$ の偏角を

z

$z$ をもちいて表すと

\arg z

$\arg z$ で、上述より

\begin{matrix} (1) & \arg z = θ + 2 n π \end{matrix}

$\arg z=\theta+2n\pi\tag1$

あるいは合同式により

\begin{matrix} (1)' & \arg z \equiv θ (\mod 2 π) \end{matrix}

$\arg z\equiv\theta\pmod{2\pi}\tag*{(1)'}$

となり、複数の値をもちます。

複素数

z

$z$ の偏角の主値

θ

$θ$ を

z

$z$ をもちいて表す場合は大文字

A

$\text{A}$ の

Arg z

$\text{Arg}\ z$ で表し、

Arg z = θ

$\text{Arg}\ z=\theta$

となります。

すなわち、

\arg

$\arg$ と

Arg

$\text{Arg}$ の関係は

(1)

$(1)$ より

\arg z = Arg z + 2 n π

$\arg z=\text{Arg}\ z+2n\pi$

と書けます。

偏角の性質

偏角の和

0

$0$ でない2つの複素数

z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}, z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}

$z_1=r_1e^{iθ_1},z_2=r_2e^{iθ_2}$ の積について

\begin{aligned} z_{1} z_{2} & = r_{1} e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} e^{i θ_{2}} \\ = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})} \end{aligned}

$\begin{align*}z_1z_2&=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}\\[0.5em]&=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\end{align*}$

が成り立ちます。

この点のみを見れば

\begin{matrix} (*) & \arg (z_{1} z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2} \end{matrix}

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\tag{*}$

が成り立ちそうですが、必ずしも成り立つわけではありません。

上述の複素数の性質より

\begin{aligned} z_{1} z_{2} = r_{1} e^{i (θ_{1} + 2 k π)} \cdot r_{2} e^{i (θ_{2} + 2 l π)} & = r_{1} r_{2} e^{i {(θ_{1} + θ_{2}) + 2 m π}} \\ (k, l, m : 整 数) \end{aligned}

$\begin{align*}z_1z_2=r_1e^{i(\theta_1+2k\pi)}\cdot r_2e^{i(\theta_2+2l\pi)}&=r_1r_2e^{i\bigl\{(\theta_1+\theta_2)+2m\pi\bigr\}}\\ &\qquad(k,l,m:整数)\end{align*}$

でも成り立ちます。これは

m = k + l

$m=k+l$ でない場合、すなわち

(*)

$(*)$ が成立しない場合も存在するということです。

\arg (z_{1} z_{2})

$\arg(z_1z_2)$ に着目すると

\begin{aligned} \arg (z_{1} z_{2}) & = (θ_{1} + θ_{2}) + 2 m π \\ = (θ_{1} + 2 k π) + (θ_{2} + 2 l π) - 2 k π - 2 l π + 2 m π \\ = (θ_{1} + 2 k π) + (θ_{2} + 2 l π) + 2 (m - k - l) π \\ = \arg z_{1} + \arg z_{2} + 2 (m - k - l) π \end{aligned}

$\begin{align*}\arg(z_1z_2)&=(\theta_1+\theta_2)+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)+(\theta_2+2l\pi)-2k\pi-2l\pi+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)+(\theta_2+2l\pi)+2(m-k-l)\pi\\[0.5em]&=\arg z_1+\arg z_2+2(m-k-l)\pi\end{align*}$

m - k - l = n

$m-k-l=n$ とおくと

\begin{matrix} (2) & \arg (z_{1} z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2} + 2 n π (n : 整 数) \end{matrix}

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2+2n\pi\quad(n:整数)\tag2$

となります。
これを合同式で書けば

\begin{matrix} (2)' & \arg (z_{1} z_{2}) \equiv \arg z_{1} + \arg z_{2} (\mod 2 π) \end{matrix}

$\arg(z_1z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}\tag*{(2)'}$

となります。

Arg z_{1} = θ_{1}, Arg z_{2} = θ_{2}

$\text{Arg}\ z_1=θ_1,\text{Arg}\ z_2=θ_2$ であるとき、その和は主値の範囲を超えることがあるので

Arg z_{1} + Arg z_{2} = Arg (z_{1} z_{2}) + 2 n π (n = - 1, 0, 1)

$\text{Arg}\ z_1+\text{Arg}\ z_2=\text{Arg}(z_1z_2)+2n\pi\quad(n=-1,0,1)$

（

n = - 1

$n=-1$ は主値を$-\pi<\text{Arg}\ z\leqq\pi$とした場合のみ）

となり、合同式では

Arg z_{1} + Arg z_{2} \equiv Arg (z_{1} z_{2}) (\mod 2 π)

$\text{Arg}\ z_1+\text{Arg}\ z_2\equiv\text{Arg}(z_1z_2)\pmod{2\pi}$

と書けます。

偏角の差

0

$0$ でない2つの複素数

z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}, z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}

$z_1=r_1e^{iθ_1},z_2=r_2e^{iθ_2}$ の商について

\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1} e^{i θ_{1}}}{r_{2} e^{i θ_{2}}} \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\end{align*}$

が成り立ちます。このとき偏角の差

θ_{1} - θ_{2}

$\theta_1-\theta_2$ は

θ_{2}

$\theta_2$ を表す動径から

θ_{1}

$\theta_1$ を表す動径まで反時計回りを正として測った一般角となります。

偏角の和と同様、複素数の性質より

\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} e^{i (θ_{1} + 2 k π)}}{r_{2} e^{i (θ_{2} + 2 l π)}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i {(θ_{1} - θ_{2}) + 2 m π}} \\ (k, l, m : 整 数) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i(\theta_1+2k\pi)}}{r_2e^{i(\theta_2+2l\pi)}}&=\frac{r_1}{r_2}e^{i\bigl\{(\theta_1-\theta_2)+2m\pi\bigr\}}\\ &\qquad(k,l,m:整数)\end{align*}$

が成り立つので、

\begin{aligned} \arg \frac{z_{1}}{z_{2}} & = (θ_{1} - θ_{2}) + 2 m π \\ = (θ_{1} + 2 k π) - (θ_{2} + 2 l π) - 2 k π + 2 l π + 2 m π \\ = (θ_{1} + 2 k π) - (θ_{2} + 2 l π) + 2 (m - k + l) π \\ = \arg z_{1} - \arg z_{2} + 2 (m - k + l) π \end{aligned}

$\begin{align*}\arg\frac{z_1}{z_2}&=(\theta_1-\theta_2)+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)-(\theta_2+2l\pi)-2k\pi+2l\pi+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)-(\theta_2+2l\pi)+2(m-k+l)\pi\\[0.5em]&=\arg z_1-\arg z_2+2(m-k+l)\pi\end{align*}$

m - k + l = n

$m-k+l=n$ とおけば

\begin{matrix} (3) & \arg \frac{z_{1}}{z_{2}} = \arg z_{1} - \arg z_{2} + 2 n π (n : 整 数) \end{matrix}

$\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2n\pi\quad(n:整数)\tag3$

となり、合同式では

\begin{matrix} (3)' & \arg \frac{z_{1}}{z_{2}} \equiv \arg z_{1} - \arg z_{2} (\mod 2 π) \end{matrix}

$\arg\frac{z_1}{z_2}\equiv\arg z_1-\arg z_2\pmod{2\pi}\tag*{(3)'}$

と書けます。

Arg z_{1} = θ_{1}, Arg z_{2} = θ_{2}

$\text{Arg}\ z_1=θ_1,\text{Arg}\ z_2=θ_2$ であるとき、その差は主値の範囲を超えることがあるので

Arg z_{1} - Arg z_{2} = Arg \frac{z_{1}}{z_{2}} + 2 n π (n = - 1, 0, 1)

$\text{Arg}\ z_1-\text{Arg}\ z_2=\text{Arg}\ \frac{z_1}{z_2}+2n\pi\quad(n=-1,0,1)$

（

n = 1

$n=1$ は主値を$-\pi<\text{Arg}\ z\leqq\pi$とした場合のみ）

となり、合同式では

Arg z_{1} - Arg z_{2} \equiv Arg \frac{z_{1}}{z_{2}} (\mod 2 π)

$\text{Arg}\ z_1-\text{Arg}\ z_2\equiv\text{Arg}\frac{z_1}{z_2}\pmod{2\pi}$

と書けます。

偏角の整数倍

0

$0$ でない複素数

z = r e^{i θ}

$z=re^{iθ}$ の累乗について、ド・モアブルの定理により

\begin{aligned} z^{k} & = {(r e^{i θ})}^{k} \\ = r^{k} e^{i (n θ)} & (k : 整 数) \end{aligned}

$\begin{align*}z^k&=\left(re^{i\theta}\right)^k\\[0.5em]&=r^k e^{i(n\theta)}&(k:整数)\end{align*}$

が成り立ちます。

偏角の和と同様、複素数の性質より

\begin{aligned} z^{k} = {(r e^{i (θ + 2 l π)})}^{k} & = r^{k} e^{i {(k θ) + 2 m π}} \\ (l, m : 整 数) \end{aligned}

$\begin{align*}z^k=\left(re^{i(\theta+2l\pi)}\right)^k&=r^k e^{i\left\{(k\theta)+2m\pi\right\}}\\ &\qquad(l,m:整数)\end{align*}$

が成り立つので、

\begin{aligned} \arg z^{k} & = (k θ) + 2 m π \\ = k (θ + 2 l π) - 2 k l π + 2 m π \\ = k (θ + 2 l π) + 2 (m - k l) π \\ = k \arg z + 2 (m - k l) π \end{aligned}

$\begin{align*}\arg z^k&=(k\theta)+2m\pi\\[0.5em]&=k(\theta+2l\pi)-2kl\pi+2m\pi\\[0.5em]&=k(\theta+2l\pi)+2(m-kl)\pi\\[0.5em]&=k\arg z+2(m-kl)\pi\end{align*}$