複素数の偏角とarg・Arg ~ 数学について考えてみる

複素数の偏角

$0$ でない複素数

$z$ の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点

$z$ を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角（一般角）のことです。

$0$ の偏角は定義できません。

複素数

$z$ の偏角にはその動径が表す角度すべてが当てはまるので、動径の表す角度の1つを

$θ$ としたならばそれに

$2\pi$ の整数倍を加えたもの、すなわち

$θ+2n\pi$ （

$n:$ 整数）で表される角度すべてが複素数

$z$ の偏角となります。

したがって、複素数

$z$ の極形式が

$z=re^{iθ}$ であるならば

$z=re^{i\theta}=re^{i(\theta+2n\pi)}\quad(n:整数)$

が成り立ちます。

$-\pi<θ\leqq\pi$ または

$0\leqqθ<2\pi$ となるようにとった

$θ$ のことを主値といい、これをもちいることで動径の表す角度をただ1つに決めることができます。

複素数

$z$ の偏角を

$z$ をもちいて表すと

$\arg z$ で、上述より

$\arg z=\theta+2n\pi\tag1$

あるいは合同式により

$\arg z\equiv\theta\pmod{2\pi}\tag*{(1)'}$

となり、複数の値をもちます。

複素数

$z$ の偏角の主値

$θ$ を

$z$ をもちいて表す場合は大文字

$\text{A}$ の

$\text{Arg}\ z$ で表し、

$\text{Arg}\ z=\theta$

となります。

すなわち、

$\arg$ と

$\text{Arg}$ の関係は

$(1)$ より

$\arg z=\text{Arg}\ z+2n\pi$

と書けます。

偏角の性質

偏角の和

$0$ でない2つの複素数

$z_1=r_1e^{iθ_1},z_2=r_2e^{iθ_2}$ の積について

$\begin{align*}z_1z_2&=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}\\[0.5em]&=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\end{align*}$

が成り立ちます。

この点のみを見れば

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\tag{*}$

が成り立ちそうですが、必ずしも成り立つわけではありません。

上述の複素数の性質より

$\begin{align*}z_1z_2=r_1e^{i(\theta_1+2k\pi)}\cdot r_2e^{i(\theta_2+2l\pi)}&=r_1r_2e^{i\bigl\{(\theta_1+\theta_2)+2m\pi\bigr\}}\\ &\qquad(k,l,m:整数)\end{align*}$

でも成り立ちます。これは

$m=k+l$ でない場合、すなわち

$(*)$ が成立しない場合も存在するということです。

$\arg(z_1z_2)$ に着目すると

$\begin{align*}\arg(z_1z_2)&=(\theta_1+\theta_2)+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)+(\theta_2+2l\pi)-2k\pi-2l\pi+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)+(\theta_2+2l\pi)+2(m-k-l)\pi\\[0.5em]&=\arg z_1+\arg z_2+2(m-k-l)\pi\end{align*}$

$m-k-l=n$ とおくと

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2+2n\pi\quad(n:整数)\tag2$

となります。
これを合同式で書けば

$\arg(z_1z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}\tag*{(2)'}$

となります。

$\text{Arg}\ z_1=θ_1,\text{Arg}\ z_2=θ_2$ であるとき、その和は主値の範囲を超えることがあるので

$\text{Arg}\ z_1+\text{Arg}\ z_2=\text{Arg}(z_1z_2)+2n\pi\quad(n=-1,0,1)$

（

$n=-1$ は主値を$-\pi<\text{Arg}\ z\leqq\pi$とした場合のみ）

となり、合同式では

$\text{Arg}\ z_1+\text{Arg}\ z_2\equiv\text{Arg}(z_1z_2)\pmod{2\pi}$

と書けます。

偏角の差

$0$ でない2つの複素数

$z_1=r_1e^{iθ_1},z_2=r_2e^{iθ_2}$ の商について

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\end{align*}$

が成り立ちます。このとき偏角の差

$\theta_1-\theta_2$ は

$\theta_2$ を表す動径から

$\theta_1$ を表す動径まで反時計回りを正として測った一般角となります。

偏角の和と同様、複素数の性質より

$\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i(\theta_1+2k\pi)}}{r_2e^{i(\theta_2+2l\pi)}}&=\frac{r_1}{r_2}e^{i\bigl\{(\theta_1-\theta_2)+2m\pi\bigr\}}\\ &\qquad(k,l,m:整数)\end{align*}$

が成り立つので、

$\begin{align*}\arg\frac{z_1}{z_2}&=(\theta_1-\theta_2)+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)-(\theta_2+2l\pi)-2k\pi+2l\pi+2m\pi\\[0.5em]&=(\theta_1+2k\pi)-(\theta_2+2l\pi)+2(m-k+l)\pi\\[0.5em]&=\arg z_1-\arg z_2+2(m-k+l)\pi\end{align*}$

$m-k+l=n$ とおけば

$\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2n\pi\quad(n:整数)\tag3$

となり、合同式では

$\arg\frac{z_1}{z_2}\equiv\arg z_1-\arg z_2\pmod{2\pi}\tag*{(3)'}$

と書けます。

$\text{Arg}\ z_1=θ_1,\text{Arg}\ z_2=θ_2$ であるとき、その差は主値の範囲を超えることがあるので

$\text{Arg}\ z_1-\text{Arg}\ z_2=\text{Arg}\ \frac{z_1}{z_2}+2n\pi\quad(n=-1,0,1)$

（

$n=1$ は主値を$-\pi<\text{Arg}\ z\leqq\pi$とした場合のみ）

となり、合同式では

$\text{Arg}\ z_1-\text{Arg}\ z_2\equiv\text{Arg}\frac{z_1}{z_2}\pmod{2\pi}$

と書けます。

偏角の整数倍

$0$ でない複素数

$z=re^{iθ}$ の累乗について、ド・モアブルの定理により

$\begin{align*}z^k&=\left(re^{i\theta}\right)^k\\[0.5em]&=r^k e^{i(n\theta)}&(k:整数)\end{align*}$

が成り立ちます。

偏角の和と同様、複素数の性質より

$\begin{align*}z^k=\left(re^{i(\theta+2l\pi)}\right)^k&=r^k e^{i\left\{(k\theta)+2m\pi\right\}}\\ &\qquad(l,m:整数)\end{align*}$

が成り立つので、

$\begin{align*}\arg z^k&=(k\theta)+2m\pi\\[0.5em]&=k(\theta+2l\pi)-2kl\pi+2m\pi\\[0.5em]&=k(\theta+2l\pi)+2(m-kl)\pi\\[0.5em]&=k\arg z+2(m-kl)\pi\end{align*}$

$m-kl=n$ とおけば

$\arg z^k=k\arg z+2n\pi\quad(n:整数)\tag4$

となり、合同式では

$\arg z^k\equiv k\arg z\pmod{2\pi}\tag*{(4)'}$

と書けます。

$\text{Arg}\ z=θ$ であるとき、その整数倍は主値の範囲を超えることがあるので

$n\text{Arg}\ z=\text{Arg}\ z^n+2n\pi\quad(n:整数)$

となり、合同式では

$n\text{Arg}\ z\equiv\text{Arg}\ z^n\pmod{2\pi}$

と書けます。