自己交叉する多角形の辺がつくる角の大きさの和を求める

「上の5本の辺のうち2本が互いに交わっている図形の赤く示した角の大きさの和を求めよ。」

　赤く示した角の大きさの和は1本の補助線を引くことで求めることができます。

上図のように補助線を引くと大きな三角形とその内部に1つの頂点のみで接する2つの三角形ができます。内部の三角形の一方には、4つの赤く示した角のうちの2つが内角として含まれています。

　内部の2つの三角形の共通の頂点に着目します。
この頂点におけるそれぞれの三角形の内角は対頂角の関係なので、等しいことがわかります。

この対頂角の関係にある内角の大きさを$α$とおきます。
すると、一方の三角形の内角である2つの赤く示した角の大きさの和は、三角形の内角の和より

$$180°-\alpha$$

と表すことができ、同様にもう一方の三角形の$α$以外の緑色で示した角の大きさの和も

$$180°-\alpha$$

と表すことができます。

したがって、内部の三角形の赤く示した角の大きさの和と緑色で示した角の大きさの和は等しいことがわかります。

　このことを利用すると、和を求める4つの角のうち内部の三角形の赤く示した角2つを緑色で示した角2つに、和を変えることなく置き換えることができます。
上図のように内部の三角形以外の赤く示した角と緑色で示した角はすべて大きな三角形の内角の一部または全部であり、求める角の大きさの和は大きな三角形の内角の和に等しいことがわかります。

したがって、求める赤く示した角の大きさの和は$\mathbf{180°}$となります。

関連：多角形の内角の和の求め方　正多角形の1つの内角の大きさの求め方