隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。
ある数列$\{a_n\}$にあらわれる階差数列の項$b_n$は
ある数列$\{a_n\}$にあらわれる階差数列の項$b_n$は
\[b_n=a_{n+1}-a_n\]
という階差より求められ、数列$\{a_n\}$はこれを変形した
\begin{equation}a_{n+1}=a_n +b_n\end{equation}
という漸化式で表すことができます。
$(1)$をもちいて第$2$項以降を表すと
\begin{align*}a_2&=a_1+b_1\\[0.5em]a_3&=a_2+b_2\\
\vdots&\hspace{2.5em}\vdots\\\
a_{n-1}&=a_{n-2}+b_{n-2}\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}+b_{n-1}\end{align*}
となります。
\begin{align*}n\geqq2のとき&\\
a_n&=(a_{n-2}+b_{n-2})+b_{n-1}\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}+b_{n-3})+b_{n-2}\bigr\}+b_{n-1}\\
&\qquad\vdots\\ &=a_1+(b_1+b_2+\cdots
+b_{n-2}+b_{n-1})\\[0.5em]\therefore
a_n&=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align*}
上のように$n\geqq2$のときの場合として$a_n$の式に$a_{n-1}$の式を代入、その後$a_{n-2}$の式を代入、…と繰り返し、初項を$a$とする、すなわち$a_1=a$を代入すると最終的に
\[\large a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\geqq2)\]
という式になります。これが階差数列をもつ数列の一般項です。
例えば、自然数の平方数を小さい順に並べた数列は$n^2$という一般項をもつことがわかります。この数列の階差を調べてみると
このことから、例示した数列は、初項$1$、階差数列$b_n=2n+1$である数列$\{a_n\}$としてみると一般項を
\begin{align*}4-1&=\textcolor{red}{3}\\[0.5em]9-5&=\textcolor{red}{5}\\[0.5em]16-9&=\textcolor{red}{7}\\[0.5em]25-16&=\textcolor{red}{9}\\
\vdots\quad&\hspace{1.5em}\vdots\\
n^2-(n-1)^2&=\textcolor{red}{2n-1}\\[0.5em](n+1)^2-n^2&=\textcolor{red}{2n+1}\end{align*}
となり、階差数列として$3$以上の奇数を小さい順に並べた数列があらわれます。
このことから、例示した数列は、初項$1$、階差数列$b_n=2n+1$である数列$\{a_n\}$としてみると一般項を
\[a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\]
と書くことができ、これを計算すると
\begin{align*}a_n&=1+\sum_{k=1}^{n-1}{2k}+\sum_{k=1}^n{1}\\[0.5em]&=1+2\sum_{k=1}^{n-1}{k}+(n-1)\\[0.5em]&=1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}+n-1\\[0.5em]&=1+(n-1)n+n-1\\[0.5em]&=1+n^2-n+n-1\\[0.5em]&=n^2\end{align*}
となり、元の数列の一般項の変形であることがわかります。
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