階差数列とは？ ~ 数学について考えてみる

2025年4月15日

階差数列とは？

PLUMBAGO

　階差数列とは、ある数列の隣り合う項の差にあらわれる数列のことです。

隣り合う項の差のことを階差といい、ここにあらわれる数列なので階差数列と呼ばれます。
ある数列

{a_{n}}

$\{a_n\}$ にあらわれる階差数列の項

b_{n}

$b_n$ は

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

$b_n=a_{n+1}-a_n$

という階差より求められ、数列

{a_{n}}

$\{a_n\}$ はこれを変形した

\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + b_{n} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}a_{n+1}=a_n +b_n\end{equation}$

という漸化式で表すことができます。

(1)

$(1)$ をもちいて第

2

$2$ 項以降を表すと

\begin{matrix} a_{2} & = a_{1} + b_{1} a_{3} & = a_{2} + b_{2} ⋮ & ⋮ a_{n - 1} & = a_{n - 2} + b_{n - 2} a_{n} & = a_{n - 1} + b_{n - 1} \end{matrix}

$\begin{align*}a_2&=a_1+b_1\\[0.5em]a_3&=a_2+b_2\\ \vdots&\hspace{2.5em}\vdots\\\ a_{n-1}&=a_{n-2}+b_{n-2}\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}+b_{n-1}\end{align*}$

となります。

\begin{matrix} n ≧ 2 の と き a_{n} & = (a_{n - 2} + b_{n - 2}) + b_{n - 1} = {(a_{n - 3} + b_{n - 3}) + b_{n - 2}} + b_{n - 1} ⋮ = a_{1} + (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n - 2} + b_{n - 1}) ∴ a_{n} & = a + n - 1 \sum k = 1 b_{k} \end{matrix}

$\begin{align*}n\geqq2のとき&\\ a_n&=(a_{n-2}+b_{n-2})+b_{n-1}\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}+b_{n-3})+b_{n-2}\bigr\}+b_{n-1}\\ &\qquad\vdots\\ &=a_1+(b_1+b_2+\cdots +b_{n-2}+b_{n-1})\\[0.5em]\therefore a_n&=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align*}$

上のように

n ≧ 2

$n\geqq2$ のときの場合として

a_{n}

$a_n$ の式に

a_{n - 1}

$a_{n-1}$ の式を代入、その後

a_{n - 2}

$a_{n-2}$ の式を代入、…と繰り返し、初項を

a

$a$ とする、すなわち

a_{1} = a

$a_1=a$ を代入すると最終的に

a_{n} = a + n - 1 \sum k = 1 b_{k} (n ≧ 2)

$\large a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(n\geqq2)$

という式になります。これが階差数列をもつ数列の一般項です。

例えば、自然数の平方数を小さい順に並べた数列は

n^{2}

$n^2$ という一般項をもつことがわかります。この数列の階差を調べてみると

\begin{matrix} 4 - 1 & = 3 9 - 5 & = 5 16 - 9 & = 7 25 - 16 & = 9 ⋮ & ⋮ n^{2} - (n - 1)^{2} & = 2 n - 1 (n + 1)^{2} - n^{2} & = 2 n + 1 \end{matrix}

$\begin{align*}4-1&=\textcolor{red}{3}\\[0.5em]9-5&=\textcolor{red}{5}\\[0.5em]16-9&=\textcolor{red}{7}\\[0.5em]25-16&=\textcolor{red}{9}\\ \vdots\quad&\hspace{1.5em}\vdots\\ n^2-(n-1)^2&=\textcolor{red}{2n-1}\\[0.5em](n+1)^2-n^2&=\textcolor{red}{2n+1}\end{align*}$

となり、階差数列として

3

$3$ 以上の奇数を小さい順に並べた数列があらわれます。
このことから、例示した数列は、初項

1

$1$ 、階差数列

b_{n} = 2 n + 1

$b_n=2n+1$ である数列

{a_{n}}

$\{a_n\}$ としてみると一般項を

a_{n} = 1 + n - 1 \sum k = 1 (2 k + 1)

$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$

と書くことができ、これを計算すると

\begin{matrix} a_{n} & = 1 + n - 1 \sum k = 1 2 k + n \sum k = 1 1 = 1 + 2 n - 1 \sum k = 1 k + (n - 1) = 1 + 2 \cdot \frac{(n - 1) n}{2} + n - 1 = 1 + (n - 1) n + n - 1 = 1 + n^{2} - n + n - 1 = n^{2} \end{matrix}

$\begin{align*}a_n&=1+\sum_{k=1}^{n-1}{2k}+\sum_{k=1}^n{1}\\[0.5em]&=1+2\sum_{k=1}^{n-1}{k}+(n-1)\\[0.5em]&=1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}+n-1\\[0.5em]&=1+(n-1)n+n-1\\[0.5em]&=1+n^2-n+n-1\\[0.5em]&=n^2\end{align*}$

となり、元の数列の一般項の変形であることがわかります。