等差数列とは？

　等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことです。
例えば、

$$0,2,4,6,8,\cdots$$

という$0$以上の偶数を小さい順に並べた数列が等差数列の1つです。

隣接する項同士の差のことを公差といい、これは

$$\begin{equation}a_{n+1}=a_n +d\end{equation}$$

を満たします。$a_{n+1}$を前の項$a_n$をもちいて表した$(1)$のような式のことを漸化式といいます。
上に例示した数列の各項における漸化式は

$$\begin{align*}2&=0\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]4&=2\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]6&=4\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]8&=6\textcolor{red}{+2}\\ \vdots&\qquad\vdots\end{align*}$$

となり、$d=2$なる公差が確かに存在するため等差数列であるといえることがわかります。

また、公差$d$は$(1)$を変形した

$$d=a_{n+1}-a_n$$

によっても求めることができます。

初項$a$、公差$d$の等差数列の第2項以降を$(1)$の漸化式をもちいて表すと

$$\begin{align*}a_2&=a_1+d\\[0.5em]a_3&=a_2+d\\ \vdots\ &\ \qquad\vdots\\ a_{n-2}&=a_{n-3}+d\\[0.5em]a_{n-1}&=a_{n-2}+d\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}+d\end{align*}$$

となります。

$$\begin{align*}a_n&=(a_{n-2}+d)+d\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}+d)+d\bigr\}+d\\&\qquad\qquad\vdots\\ &=a_1+\overbrace{d+d+\cdots+d+d}^{n-1\text{個}}\\[0.5em]&=a_1+(n-1)d\\[0.5em]\therefore a_n&=a+(n-1)d\end{align*}$$

上のように$a_n$の式に$a_{n-1}$の式を代入、その後$a_{n-2}$の式を代入、…と繰り返し、$a_1=a$を代入すると最終的に

$$\large a_n=a+(n-1)d$$

という式になります。これが等差数列の一般項です。

関連：数列とは？

関連：等比数列とは？

関連：等差数列の和