隣接する項の一定の差のことを公差といい、これは
\[d=a_{n+1}-a_n\]
によって求めることができます。
また、上式は変形すると
\begin{equation}a_{n+1}=a_n +d\quad(n:自然数)\end{equation}
という式になります。$a_{n+1}$を前の項$a_n$をもちいて表した$(1)$のような式のことを漸化式といいます。
初項$a$、公差$d$の等差数列の各項は、第2項以降を$(1)$の漸化式をもちいて表すと
\begin{align*}a_1&=a\\[0.5em]a_2&=a_1+d\\[0.5em]a_3&=a_2+d\\[0.5em]a_4&=a_3+d\\
\vdots\ &\ \qquad\vdots\\
a_{n-2}&=a_{n-3}+d\\[0.5em]a_{n-1}&=a_{n-2}+d\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}+d\end{align*}
となります。
\begin{align*}a_n&=(a_{n-2}+d)+d\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}+d)+d\bigr\}+d\\&\qquad\qquad\vdots\\
&=a_1+\overbrace{d+d+\cdots+d+d}^{n-1\text{個}}\\[0.5em]&=a_1+(n-1)d\\[0.5em]\therefore
a_n&=a+(n-1)d\end{align*}
上のように$a_n$の式に$a_{n-1}$の式を代入、その後$a_{n-2}$の式を代入、…と繰り返すと最終的に
\[\large a_n=a+(n-1)d\]
という式になります。これが等差数列の一般項です。
上に例示した$0$以上の偶数を小さい順に並べた数列の一般項は$2(n-1)$と書けます。この数列の各項における漸化式は
このことから、例示した数列は、初項$0$、公差$2$の等差数列$\{a_n\}$としてみると一般項を
\begin{align*}2&=0\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]4&=2\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]6&=4\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]8&=6\textcolor{red}{+2}\\
\vdots&\qquad\vdots\2(n-2)&=2(n-3)\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]2(n-1)&=2(n-2)\textcolor{red}{+2}end{align*}
となり、$d=2$なる公差が確かに存在するため等差数列であるといえることがわかります。このことから、例示した数列は、初項$0$、公差$2$の等差数列$\{a_n\}$としてみると一般項を
\[a_n=0+(n-1)\cdot2\]
と書くことができ、これは元の数列の一般項$2(n-1)$の変形です。
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