等差数列とは？ ~ 数学について考えてみる

2025年3月23日

等差数列とは？

PLUMBAGO

　等差数列とは、隣接する項の差が一定である数列のことです。
例えば、

0, 2, 4, 6, 8, \dots

$0,2,4,6,8,\cdots$

という

0

$0$ 以上の偶数を小さい順に並べた数列は等差数列の1つです。

隣接する項の一定の差のことを公差といい、これは

d = a_{n + 1} - a_{n}

$d=a_{n+1}-a_n$

によって求めることができます。

また、上式は変形すると

\begin{matrix} (1) & a_{n + 1} = a_{n} + d (n : 自 然 数) \end{matrix}

$\begin{equation}a_{n+1}=a_n +d\quad(n:自然数)\end{equation}$

という式になります。

a_{n + 1}

$a_{n+1}$ を前の項

a_{n}

$a_n$ をもちいて表した

(1)

$(1)$ のような式のことを漸化式といいます。

初項

a

$a$ 、公差

d

$d$ の等差数列の各項は、第2項以降を

(1)

$(1)$ の漸化式をもちいて表すと

\begin{aligned} a_{1} & = a \\ a_{2} & = a_{1} + d \\ a_{3} & = a_{2} + d \\ a_{4} & = a_{3} + d \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n - 2} & = a_{n - 3} + d \\ a_{n - 1} & = a_{n - 2} + d \\ a_{n} & = a_{n - 1} + d \end{aligned}

$\begin{align*}a_1&=a\\[0.5em]a_2&=a_1+d\\[0.5em]a_3&=a_2+d\\[0.5em]a_4&=a_3+d\\ \vdots\ &\ \qquad\vdots\\ a_{n-2}&=a_{n-3}+d\\[0.5em]a_{n-1}&=a_{n-2}+d\\[0.5em]a_n&=a_{n-1}+d\end{align*}$

となります。

\begin{aligned} a_{n} & = (a_{n - 2} + d) + d \\ = {(a_{n - 3} + d) + d} + d \\ ⋮ \\ = a_{1} + \overset{n - 1 個}{\overset{⏞}{d + d + \dots + d + d}} \\ = a_{1} + (n - 1) d \\ ∴ a_{n} & = a + (n - 1) d \end{aligned}

$\begin{align*}a_n&=(a_{n-2}+d)+d\\[0.5em]&=\bigl\{(a_{n-3}+d)+d\bigr\}+d\\&\qquad\qquad\vdots\\ &=a_1+\overbrace{d+d+\cdots+d+d}^{n-1\text{個}}\\[0.5em]&=a_1+(n-1)d\\[0.5em]\therefore a_n&=a+(n-1)d\end{align*}$

上のように

a_{n}

$a_n$ の式に

a_{n - 1}

$a_{n-1}$ の式を代入、その後

a_{n - 2}

$a_{n-2}$ の式を代入、…と繰り返すと最終的に

a_{n} = a + (n - 1) d

$\large a_n=a+(n-1)d$

という式になります。これが等差数列の一般項です。

　上に例示した

0

$0$ 以上の偶数を小さい順に並べた数列の一般項は

2 (n - 1)

$2(n-1)$ と書けます。この数列の各項における漸化式は

\begin{align*}2&=0\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]4&=2\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]6&=4\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]8&=6\textcolor{red}{+2}\\ \vdots&\qquad\vdots\2(n-2)&=2(n-3)\textcolor{red}{+2}\\[0.5em]2(n-1)&=2(n-2)\textcolor{red}{+2}end{align*}

となり、