等比数列の和

　初項$a$、公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和は
$r=1$のとき

$$\large na$$

$r\neq1$のとき

$$\large\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \text{or}\ \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

で求めることができます。

なぜこれらの式で等比数列の和が求められるのでしょうか？

　初項$a$、公比$r$の等比数列の一般項は

$$a_n=a r^{n-1}$$

となります。

したがって、初項から第$n$項まで順に足していったときの和$S_n$は

$$\begin{equation}\begin{aligned}S_n&=a+ar+ar^2+\cdots\\ &\quad +a r^{n-3}+a r^{n-2}+a r^{n-1}\end{aligned}\end{equation}$$

となります。

$r=1$のとき

　$r=1$のとき$S_n$は

$$\begin{align*}S_n&=\overbrace{a +a +a+\cdots +a +a +a}^{n\text{個}}\\[0.5em]\large\therefore S_n&\large=na\end{align*}$$

となります。

$r\neq1$のとき

　$r\neq1$のとき、$(1)$の両辺に$r$を掛けると

$$\begin{equation}\begin{aligned}r S_n&=ar+ar^2+ar^3+\cdots\ &\quad +a r^{n-2}+a r^{n-1}+a r^n\end{aligned}\end{equation}$$

となり、同じ等比数列の第2項から第$n+1$項までの和となります。

$(1)-(2)$より

$$\begin{array}{lrllllllll}&S_n=&a&+a r&+ar^2&+\cdots&+a r^{n-3}&+a r^{n-2}&+a r^{n-1}&\\[0.5em]-)&r S_n=&&\hspace{0.75em}a r&+ar^2&+\cdots&+a r^{n-3}&+a r^{n-2}&+a r^{n-1}&+a r^n\\[0.5em]\hline &S_n-r S_n=&a&&&&&&&-a r^n\end{array}$$

となり、$S_n$について解くと

$$\begin{align*}(1-r)S_n&=a(1-r^n)\\[0.5em]\therefore \large S_n&\large=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{align*}$$

となり、これが等比数列の初項から第$n$項までの和を表す式となります。ただし、両辺を$1-r$で割るとき、$r\neq1$であることが条件となります。

また、上記の式の両辺に$1$を掛け、右辺の$1$だけを以下のように変形すると

$$\begin{align*}S_n\cdot1&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\cdot1\\[0.5em]S_n&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\cdot\frac{-1}{-1}&\left(\because1=\frac{-1}{-1}\right)\\[0.5em]&=\frac{a\bigl\{(1-r^n)\cdot(-1)\bigr\}}{(1-r)\cdot(-1)}\\[0.5em]&=\frac{a(-1+r^n)}{-1+r}\\[0.5em]\therefore\large S_n&\large=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{align*}$$

となります。これがもう1つの等比数列の初項から第$n$項までの和を表す式となります。

　$\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$と$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$のどちらの式でも等比数列の初項から第$n$項までの和を求めることができますが、右辺の分母が正の値となるように$r$の値によって使い分けると少しだけ計算が楽になります。

例：$a=2,r=-3,n=4$の場合

$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$をもちいると

$$\begin{align*}S&=\frac{2\bigl\{1-(-3)^4\bigr\}}{1-(-3)}\\[0.5em]&=\frac{2\left(1-81\right)}{4}\\[0.5em]&=\frac{2\cdot(-80)}{4}\\[0.5em]&=2\cdot(-20)\tag{約分}\\[0.5em]&=-40\end{align*}$$

$S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$をもちいると

$$\begin{align*}S_n&=\frac{2\bigl\{(-3)^4-1\bigr\}}{-3-1}\\[0.5em]&=\frac{2(81-1)}{-4}\\[0.5em]&=\frac{2\cdot80}{-4}\\[0.5em]&=\frac{2\cdot20}{-1}\tag{約分}\\[0.5em]&\textcolor{red}{=\frac{2\cdot20}{-1}\cdot\frac{-1}{-1}}\\[0.5em]&\textcolor{red}{=\frac{-2\cdot20}{1}}\\[0.5em]&=-40\end{align*}$$

というような計算過程となります。
この例の場合、前者のほうをもちいれば後者の赤く示した分母を正にする過程部分がないので、その分計算が楽になります。

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