等脚台形とは？

　等脚台形はその名称が表す通り「脚の長さが等しい台形」なのですが、この特徴だけでは等脚台形を説明するものとして不十分です。

「脚の長さが等しい台形」というのは平行四辺形にも当てはまりますが、等脚台形とは主に上図のような典型的な形の台形の中で脚の長さが等しいもののことを指し、すべての平行四辺形が等脚台形であるわけではありません。
（平行四辺形は平行な対辺の他、脚も平行な台形のことであり、2組の対辺の長さが等しいという性質があります。）

なので、等脚台形だけがもつ性質でどのような台形かを説明しなければなりません。
そこで、以下のように考えます。

　$\text{AB}//\text{CD, AD}=\text{BC}$である台形$\text{ABCD}$を考えます。
頂点$\text{A, B}$からそれぞれ底辺$\text{CD}$またはその延長へ垂線をおろし、その足を$\text{E, F}$とします。

$△\text{ADE}$と$△\text{BCF}$に着目すると

• 仮定より$\text{AD}=\text{BC}$
• 四角形$\text{ABFE}$は長方形なので$\text{AE}＝\text{BF}$
• $\text{AE}\perp \text{CD}$かつ$\text{BF}\perp \text{CD}$より$∠\text{AED}=∠\text{BFC}=90°$

直角三角形の斜辺と他の1組の辺がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから$∠\text{ADE}=∠\text{BCF}$です。

ここで、点$\text{E, F}$の一方が辺$\text{CD}$上にあり、もう一方が辺$\text{CD}$の延長上にあるとき、$∠\text{ADE}$と$∠\text{BCF}$は同位角となるため$\text{AD}//\text{BC}$が成り立つ、すなわち台形$\text{ABCD}$は平行四辺形となります。このときの台形は等脚台形ではありません。

点$\text{E, F}$がともに辺$\text{CD}$上、または辺$\text{CD}$の延長上にあるとき、$∠\text{ACE}$と$∠\text{BDF}$はそれぞれ台形$\text{ABCD}$の内角$∠\text{D,}∠\text{C}$または内角$∠\text{D,}∠\text{C}$の外角となります。…$(*)$
いずれの場合でも$∠\text{C}=∠\text{D}$が成り立ち、このときの台形$\text{ABCD}$が等脚台形となります。
また、台形の性質より$∠\text{A}+∠\text{D}=∠\text{B}+∠\text{C}=180°$が成り立つので、このとき$∠\text{A}=∠\text{B}$も成り立つことがわかります。

したがって、等脚台形には底辺の両端の内角が等しいという性質があることがわかります。

　次に、$\text{AB}//\text{CD,}∠\text{C}=∠\text{D}$である台形$\text{ABCD}$を考えます。
頂点$\text{A, B}$からそれぞれ底辺$\text{CD}$またはその延長へ垂線をおろし、その足を$\text{E, F}$とします。

$△\text{ADE}$と$△\text{BCF}$に着目すると

• 仮定$∠\text{D}=∠\text{C}$、すなわち$∠\text{ADE}=∠\text{BCF}$と$∠\text{AED}=∠\text{BFC}=90°$より$∠\text{DAE}=∠\text{CBF}$
• 四角形$\text{ABFE}$は長方形なので$\text{AE}=\text{BF}$
• $\text{AE}\perp \text{CD}$かつ$\text{BF}\perp \text{CD}$より$∠\text{AED}=∠\text{BFC}=90°$

1組の辺とその両端がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから$\text{AD}=\text{BC}$であり、上述の等脚台形の性質をすべてもっていることから、台形$\text{ABCD}$は等脚台形であることがわかります。

したがって、1つの底辺の両端の内角が等しい台形は等脚台形であることがわかります。

以上より、等脚台形には底辺の両端の内角が等しいという性質があり、逆に底辺の両端の内角が等しい台形は等脚台形であることがわかったので、等脚台形は底辺の両端の内角が等しい台形であるということができます。

ここで、$(*)$で点$\text{E, F}$がそれぞれ頂点$\text{D, C}$と一致するときに着目すると、台形$\text{ABCD}$は$∠\text{C}=∠\text{D}=90°$である等脚台形となり、これは長方形でもあります。
$∠\text{C}=∠\text{D}$でありながら平行四辺形の性質「1辺の両端の内角の和が$180°$」、すなわち$∠\text{C}+∠\text{D}=180°$を満たすのは$∠\text{C}=∠\text{D}=90°$のときだけであることから、長方形だけが平行四辺形かつ等脚台形である四角形であることがわかります。なお、正方形は長方形の一種です。

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