平行四辺形とは？

　平行四辺形とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことです。

平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ長さが等しいという性質があります。

これは以下のような方法で確かめることができます。

　平行四辺形$\text{ABCD}$の対角線$\text{AC}$を引きます。

$△\text{ABC}$と$△\text{CDA}$に着目すると

• $\text{AB}//\text{CD}$より錯角が等しいので$∠\text{BAC}=∠\text{DCA}$
• 同様に$\text{AD}//\text{BC}$より錯角が等しいので$∠\text{BCA}=∠\text{DAC}$
• 共通の辺なので$\text{AC}=\text{CA}$

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから$\text{AB}=\text{CD, BC}=\text{DA}$なので、平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ長さが等しいことがわかります。

4辺の長さが等しい平行四辺形のことをひし形といいます。

　また、平行四辺形の2組の対角の大きさはそれぞれ等しいという性質があります。

これは以下のような方法で確かめることができます。

　平行四辺形$\text{ABCD}$の辺$\text{AB}$の頂点$\text{B}$の側の延長上に点$\text{E}$をとります。
すると、$\text{AB}//\text{CD}$より錯角が等しいので$∠\text{CBE}=∠\text{C}$です。

また、$\text{AD}//\text{BC}$より錯角が等しいので$∠\text{CBE}=∠\text{A}$です。

したがって、$∠\text{A}=∠\text{C}$であることがわかります。
同様にして$∠\text{B}=∠\text{D}$であることもわかります。

平行四辺形の2組の対角の大きさがそれぞれ等しいということは、2組の対角の外角の大きさもそれぞれ等しいということがいえます。

　平行四辺形の1辺の両端の内角の和は$180°$となります。

これは以下のような方法で確かめることができます。

　平行四辺形$\text{ABCD}$の辺$\text{BC}$の頂点$\text{B}$の側の延長上に点$\text{F}$をとります。
すると、$\text{AD}//\text{BC}$より錯角が等しいので$∠\text{A}=∠\text{ABE}$です。

ところで、$∠\text{ABE}$は平行四辺形$\text{ABCD}$の内角$∠\text{B}$の外角なので$∠\text{ABE}+∠\text{B}=180°$が成り立ちます。

したがって、辺$\text{AB}$の両端の内角$∠\text{A,}∠\text{B}$の和について$∠\text{A}+∠\text{B}=180°$が成り立つことがわかります。
同様にして辺$\text{BC, CD, DA}$それぞれの両端の内角の和についても$∠\text{B}+∠\text{C}=180°,$ $∠\text{C}+∠\text{D}=180°,$ $∠\text{D}+∠\text{A}=180°$が成り立つことがわかります。

4つの内角の大きさが等しい、すなわち内角の大きさがすべて$90°$である平行四辺形のことを長方形といいます。さらに4辺の長さが等しい長方形（内角の大きさが$90°$であるひし形）のことを正方形といいます。

　平行四辺形の対角線は互いの中点で交わります。

これは以下のような方法で確かめることができます。

　平行四辺形$\text{ABCD}$の対角線$\text{AC, BD}$を引き、交点を$\text{P}$とします。

$△\text{PAB}$と$△\text{PCD}$に着目すると

• 平行四辺形の対辺の長さは等しいので$\text{AB}=\text{CD}$
• $\text{AB}//\text{CD}$より錯角が等しいので$∠\text{PAB}=∠\text{PCD}$
• 同様に$\text{AB}//\text{CD}$より$∠\text{PBA}=∠\text{PDC}$

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから$\text{PA}=\text{PC, PB}=\text{PD}$なので、点$\text{P}$は対角線$\text{AC, BD}$の中点であることがわかります。

したがって、平行四辺形の対角線は互いの中点で交わることがわかります。

　平行四辺形の面積は

$$\begin{equation}\large(\textbf{底辺})\times(\textbf{高さ})\end{equation}$$

で求めることができます。
底辺の長さは平行四辺形のいずれか1辺の長さ、高さは底辺の対辺上の1点から底辺またはその延長へおろした垂線の長さです。

　上図のように平行四辺形を底辺の対辺の対辺上の1点から底辺へおろした垂線、または底辺に隣接する辺（台形における脚）の中点を通る底辺の垂線で分割してつなぎ直すと長方形をつくることができます。

長方形の1辺の長さは元の平行四辺形の底辺の長さに等しく、もう1辺の長さは元の平行四辺形の高さに等しいので、元の平行四辺形の面積は長方形の面積$(\textbf{平行四辺形の底辺})×(\textbf{平行四辺形の高さ})$に等しい、すなわち$(1)$で求められることがわかります。

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