1つの内角と他の2つの頂点における外角は3組あるので、他の三角形の五心と異なり傍心は1つの三角形に3つ存在します。
どの三角形の、どの角の組においても3本の角の二等分線がただ1点で交わり、必ず傍心が存在することを確かめます。
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1つの内角と他の2つの頂点における外角は3組あるので、他の三角形の五心と異なり傍心は1つの三角形に3つ存在します。
2026年9月18日
三角形の五心 ⑤三角形の傍心とは？
1つの内角と他の2つの頂点における外角は3組あるので、他の三角形の五心と異なり傍心は1つの三角形に3つ存在します。
2026年9月15日
三角形の五心 ④三角形の垂心とは？
どの三角形においても、3本の垂線がただ1点で交わり、必ず垂心が存在することを確かめます。
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2026年9月12日
三角形の五心 ③三角形の重心とは？
（中線とは、頂点と対辺の中点を通る直線のことですが、ここでは頂点と対辺の中点を結ぶ線分のこととします。）
どの三角形においても、3本の中線がただ1点で交わり、必ず重心が存在することを確かめてみます。
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2026年9月9日
三角形の五心 ②三角形の外心とは？
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どの三角形においても、3つの辺の垂直二等分線がただ1点で交わり、必ず外心が存在することを確かめてみます。
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2026年9月8日
三角形の五心 ①三角形の内心とは？
どの三角形においても、3つの内角の二等分線がただ1点で交わり、必ず内心が存在することを確かめてみます。
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2026年8月16日
眼球定理とは？
眼球定理とは、
2つの円$\text{C}_1, \text{C}_2$があり、それぞれの中心を$\text{O}_1,
\text{O}_2$とする。ただし、$\text{O}_1\text{O}_2$は$\text{C}_1,
\text{C}_2$の半径の大きいほうよりさらに大きいものとする。
というものです。
$\text{O}_1$から円$\text{C}_2$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{P},
\text{Q}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。
同様に、$\text{O}_2$から円$\text{C}_1$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{R},
\text{S}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。
このとき、
\[\large \text{AB}=\text{CD}\]
が成り立つ。
また、これの発展として、
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直線$\text{O}_1\text{O}_2$に関して同じ側にある接点を$\text{P},
\text{R}$とし、直線$\text{PR}$を引く。
というものもあります。
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直線$\text{PR}$と円$\text{C}_1$の点$\text{R}$以外の交点を$\text{R'}$、直線$\text{PR}$と円$\text{C}_2$の点$\text{P}$以外の交点を$\text{P'}$とすると
\[\large \text{RR'}=\text{PP'}\]
が成り立つ。
なぜこれらは成り立つのでしょうか？
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2025年12月4日
アポロニウスの円の定理とは？
2つの定点$\text{A}, \text{B}$からの距離の比が$m:n$（ただし、$m\neq
n$）となる点$\text{P}$をとると、点$\text{P}$は線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円周上にある
という定理のことです。
線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円のことをアポロニウスの円といいます。
ちなみに、単にアポロニウスの定理という場合もありますが、これは中線定理の別名としてのアポロニウスの定理と重複するので注意が必要です。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2025年12月3日
三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質の逆
三角形の内角・外角の二等分線と線分の比とは以下のようなものです。
$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角$∠\text{CAP}$の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると
これの性質の逆として以下が成り立ちます。
\[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]
$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$を$\text{AB}:\text{AC}$に内分する点を$\text{D}$、外分する点を$\text{E}$とすると、直線$\text{AD},
\text{AE}$はそれぞれ内角$∠\text{A}$とその外角の二等分線となる。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2025年11月19日
2025年5月4日
二項定理とは？
二項定理とは、2項式の累乗を展開した多項式の各項の係数に関する定理のことで、$(a+b)^n$（ただし、$a\neq0$かつ$b\neq0$）という2項式の自然数$n$乗を展開したとき、
\begin{align*}\large(a+b)^n&\large={_n\text{C}_0}a^n
b^0+{_n\text{C}_1}a^{n-1} b^1+{_n\text{C}_2}a^{n-2} b^2+\cdots\\
&\large\quad+{_n\text{C}_{n-2}}a^2 b^{n-2}+{_n\text{C}_{n-1}}a^1
b^{n-1}+{_n\text{C}_n}a^0 b^n\end{align*}
$\sum$をもちいれば
\[\large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{{_n\text{C}_k}a^{n-k} b^k}\]
と表せるという定理のことです。
また、$a^{n-k}b^k$（ただし、$0\leqq k\leqq n$）の係数は${_n\text{C}_k}$であるという定理でもあり、${_n\text{C}_k}$のことを二項係数といいます。
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2025年2月10日
三垂線の定理とは？
点$\text{H}$から平面$α$上の直線$l$へ垂線をおろし、その足を$\text{Q}$とします。
このとき、直線$\text{PQ}$は直線$l$に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。
この定理は命題の形では
\[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow \text{PQ}\perp l\]
のように書きます。
なぜこれが成り立つのでしょうか？
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2024年12月19日
フェルマーの小定理とは？
フェルマーの小定理とは、
互いに素な整数$a$と素数$p$について
という定理のことです。
\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}
が成り立つ。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2024年12月18日
ウィルソンの定理とその逆
ウィルソンの定理とは、
任意の素数$p$について
という定理のことです。
\begin{equation}\large (p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}
が成り立つ。
また、逆も成り立ち、
$2$以上の自然数$n$について
となります。
\begin{equation}\large (n-1)!\equiv-1\pmod n\end{equation}
が成り立つならば、$n$は素数である。
これらが成り立つことを確かめてみます。
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2024年9月29日
四平方の定理（ド・グアの定理）
四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい
という定理です。
すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと
\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つということです。
これが成り立つことを確かめてみます。
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2023年11月23日
三角関数の加法定理
三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について
\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}
が成り立つという定理です。
これらはなぜ成り立つのでしょうか？
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2023年10月26日
三平方の定理の逆は成り立つ？
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「直角三角形の直角をつくる辺の長さをそれぞれ$a, b$、斜辺の長さを$c$とすると$a^2+b^2=c^2$が成り立つ。」
というものです。
この逆は成り立つでしょうか？
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2023年10月9日
2023年9月22日
方べきの定理の逆は成り立つ？
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$\textbf{(a), (b)}:$ 2本の弦$\text{AB, CD}$、またはそれらの延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$が成り立つ。
$\textbf{(c)}:$ 点$\text{A}$を通る接線と弦$\text{BC}$の延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$が成り立つ。
では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか？
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2023年9月21日
接弦定理の逆は成り立つ？
円周角$∠\text{ABC}$の点$\text{A}$を通る接線を引き、弦$\text{AC}$と接線がつくる角$∠\text{CAT}$が$△\text{ABC}$の外側にあるように点$\text{T}$をとると$∠\text{CAT}=∠\text{ABC}$が成り立つ。
という定理です。
この定理の逆はどういったもので、それは成り立つでしょうか？
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2023年9月18日
円に内接する四角形の対角の性質の逆は成り立つ？
円に内接する四角形の対角の性質とは
円に内接する四角形の対角の和は$180°$である。
という性質のことです。
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四角形$\text{ABCD}$の対角の和が$180°$ならば四角形$\text{ABCD}$は外接円をもつ。
というものです。
なぜこれが成り立つのかを確かめてみます。
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