数学について考えてみる: 定理

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2026年8月16日

眼球定理とは？

　眼球定理とは、

　2つの円$\text{C}_1, \text{C}_2$があり、それぞれの中心を$\text{O}_1, \text{O}_2$とする。ただし、$\text{O}_1\text{O}_2$は$\text{C}_1, \text{C}_2$の半径の大きいほうよりさらに大きいものとする。

$\text{O}_1$から円$\text{C}_2$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{P}, \text{Q}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。

同様に、$\text{O}_2$から円$\text{C}_1$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{R}, \text{S}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。

このとき、

\[\large \text{AB}=\text{CD}\]

が成り立つ。

というものです。

また、これの発展として、

　直線$\text{O}_1\text{O}_2$に関して同じ側にある接点を$\text{P}, \text{R}$とし、直線$\text{PR}$を引く。

直線$\text{PR}$と円$\text{C}_1$の点$\text{R}$以外の交点を$\text{R'}$、直線$\text{PR}$と円$\text{C}_2$の点$\text{P}$以外の交点を$\text{P'}$とすると

\[\large \text{RR'}=\text{PP'}\]

が成り立つ。

というものもあります。

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

アポロニウスの円の定理とは？

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　アポロニウスの円の定理とは、

2つの定点$\text{A}, \text{B}$からの距離の比が$m:n$（ただし、$m\neq n$）となる点$\text{P}$をとると、点$\text{P}$は線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円周上にある

という定理のことです。

線分$\text{AB}$の内分点と外分点を直径の両端とする円のことをアポロニウスの円といいます。

ちなみに、単にアポロニウスの定理という場合もありますが、これは中線定理の別名としてのアポロニウスの定理と重複するので注意が必要です。

これが成り立つことを確かめてみます。

三角形の内角・外角の二等分線と線分の比の性質の逆

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　三角形の内角・外角の二等分線と線分の比とは以下のようなものです。

$△\text{ABC}$の内角$∠\text{A}$の二等分線と辺$\text{BC}$との交点を$\text{D}$、$∠\text{A}$の外角$∠\text{CAP}$の二等分線と辺$\text{BC}$の延長との交点を$\text{E}$とすると

\[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{CD}=\text{BE}:\text{CE}\]

これの性質の逆として以下が成り立ちます。

$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$を$\text{AB}:\text{AC}$に内分する点を$\text{D}$、外分する点を$\text{E}$とすると、直線$\text{AD}, \text{AE}$はそれぞれ内角$∠\text{A}$とその外角の二等分線となる。

これが成り立つことを確かめてみます。

九点円とは？

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　九点円とは、三角形の3辺の中点、各頂点から対辺またはその延長への垂線の足、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点の9点を通る円のことです。オイラー円やフォイエルバッハ円とも呼ばれます。

三角形にはこの円が必ず存在することを確かめてみようと思います。

二項定理とは？

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　二項定理とは、2項式の累乗を展開した多項式の各項の係数に関する定理のことで、$(a+b)^n$（ただし、$a\neq0$かつ$b\neq0$）という2項式の自然数$n$乗を展開したとき、

\begin{align*}\large(a+b)^n&\large={_n\text{C}_0}a^n b^0+{_n\text{C}_1}a^{n-1} b^1+{_n\text{C}_2}a^{n-2} b^2+\cdots\\ &\large\quad+{_n\text{C}_{n-2}}a^2 b^{n-2}+{_n\text{C}_{n-1}}a^1 b^{n-1}+{_n\text{C}_n}a^0 b^n\end{align*}

$\sum$をもちいれば

\[\large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{{_n\text{C}_k}a^{n-k} b^k}\]

と表せるという定理のことです。

また、$a^{n-k}b^k$（ただし、$0\leqq k\leqq n$）の係数は${_n\text{C}_k}$であるという定理でもあり、${_n\text{C}_k}$のことを二項係数といいます。

三垂線の定理とは？

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　平面$α$上にない点$\text{P}$から平面$α$へ垂線をおろし、その足を$\text{H}$とします。
点$\text{H}$から平面$α$上の直線$l$へ垂線をおろし、その足を$\text{Q}$とします。

このとき、直線$\text{PQ}$は直線$l$に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。

この定理は命題の形では

\[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow \text{PQ}\perp l\]

のように書きます。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

フェルマーの小定理

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　フェルマーの小定理とは、素数$p$と$p$と互いに素な整数$a$について

\begin{equation}\large a^{p-1}\equiv1\pmod p\end{equation}

が成り立つという定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

ウィルソンの定理とその逆

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　ウィルソンの定理とは、任意の素数$p$について

\begin{equation}\large(p-1)!\equiv-1\pmod p\end{equation}

が成り立つ、という定理のことです。

これが成り立つことを確かめてみます。

三角形の傍心

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　三角形の傍心とは、三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの内角に対する外角の二等分線の交点のことで、どの三角形にも傍心が3個存在します。
三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が1点で交わることを確かめます。

四平方の定理（ド・グアの定理）

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　四平方の定理とは、

四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい

という定理です。

すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと

\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]

が成り立つということです。

これが成り立つことを確かめてみます。

三角関数の加法定理

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　三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について

\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}

が成り立つという定理です。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？