ひし形とは？

　ひし形とは、4辺の長さが等しい四角形のことです。

4辺の長さが等しいということは、平行四辺形の成立条件「2組の対辺がそれぞれ等しい」を満たすので、ひし形は平行四辺形でもあることがわかります。

関連：平行四辺形とは？

したがって、ひし形は平行四辺形の性質

• 2組の対辺がそれぞれ平行
• 2組の対角がそれぞれ等しい
• 1辺の両端の内角の和は$180°$
• 対角線が互いの中点で交わる …(※)

をもちます。

また、ひし形においては、対角線は直角に交わるという性質があるので、平行四辺形の性質(※)とあわせれば

• 対角線は互いの中点で直角に交わる

となります。

関連：ひし形の対角線の性質

　4つの内角が等しい、すなわち4つの内角がすべて$90°$であるひし形は正方形となります。

　ひし形の面積は、平行四辺形と同様に底辺の長さと高さの積で求められますが、対角線の長さから求めることもできます。

　ひし形$ABCD$を考え、対角線$AC$と$BD$の交点を$E$とします。

ひし形の性質より$AB=BC=CD=DA$であり、$AE=CE, BE=DE$なので、$△ABE, △CBE,$ $△CDE, △ADE$はどの2つの三角形も3組の辺がそれぞれ等しく、互いに合同であることがわかります。
このことから、これらの面積について

\[\triangle ABE=\triangle CBE=\triangle CDE=\triangle ADE\]

が成り立ちます。

関連：三角形の合同・合同条件

$△ABE$に着目すると、対角線$AC$と$BD$は点$E$で直角に交わることから$∠AEB=90°$なので、面積は

\[\triangle ABE=\frac{AE\times BE}{2}\]

で求められます。
また、点$E$は対角線$AC, BD$の中点なので、$AE=\dfrac{AC}{2}, BE=\dfrac{BD}{2}$であり

\begin{align*}\triangle ABE&=\frac{1}{2}\times\frac{AC}{2}\times\frac{BD}{2}\\[0.5em]\therefore\triangle ABE&=\frac{AC\times BD}{8}\end{align*}

と書けます。

ひし形$ABCD$の面積は$△ABE, △CBE,$ $△CDE, △ADE$の面積の和なので、

\begin{align*}\square ABCD&=\triangle ABE+\triangle CBE+\triangle CDE+\triangle ADE\\[0.5em]&=4\triangle ABE\\[0.5em]&=4\times\frac{AC\times BD}{8}\\[0.5em]\large\therefore\square ABCD&\large=\frac{AC\times BD}{2}\end{align*}

で求められることがわかります。

関連：ひし形の対角線の性質

関連：平行四辺形とは？