無限大に発散する数列と収束する数列の積・商の極限は以下のようになります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の商の極限
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{c_n}=0\end{gather*}
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α>0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α<0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき
\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
数列の商の極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=0$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$なので、「発散する数列の極限の性質①」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0\]
が成り立ちます。
したがって、「収束する数列の極限の性質③」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}&=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\frac{1}{b_n}\\[0.5em]&=\alpha\cdot0\\[0.5em]&\large=0\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{c_n}=0$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty$なので、「発散する数列の極限の性質①」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{c_n}=0\]
が成り立ちます。
したがって、「収束する数列の極限の性質③」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{c_n}&=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\frac{1}{c_n}\\[0.5em]&=\alpha\cdot0\\[0.5em]&\large=0\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\infty\quad(a_n≠0, α>0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α>0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
が成り立ちます。なお、$\dfrac{1}{α}>0$です。
したがって、「発散する数列と収束する数列の積の極限」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
b_n\\[0.5em]&\large=\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{c_n}{a_n}=-\infty\quad(a_n≠0, α>0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α>0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
が成り立ちます。なお、$\dfrac{1}{α}>0$です。
したがって、「発散する数列と収束する数列の積の極限」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
c_n\\[0.5em]&\large=-\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=-\infty\quad(a_n≠0, α<0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α<0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
が成り立ちます。なお、$\dfrac{1}{α}<0$です。
したがって、「発散する数列と収束する数列の積の極限」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
b_n\\[0.5em]&\large=-\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{c_n}{a_n}=\infty\quad(a_n≠0, α<0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立ち、かつ$α<0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
が成り立ちます。なお、$\dfrac{1}{α}<0$です。
したがって、「発散する数列と収束する数列の積の極限」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
c_n\\[0.5em]&\large=\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\infty\quad(a_n>0, α=0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]
が成り立ちます。
したがって、「発散する数列の極限の性質②」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
b_n\\[0.5em]&\large=\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{c_n}{a_n}=-\infty\quad(a_n>0, α=0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]
が成り立ちます。
したがって、「発散する数列の極限の性質②」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
c_n\\[0.5em]&\large=-\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=-\infty\quad(a_n<0, α=0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]
が成り立ちます。
したがって、「発散する数列の極限の性質②」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
b_n\\[0.5em]&\large=-\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{c_n}{a_n}=\infty\quad(a_n<0, α=0)$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとします。
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
すると、「収束する数列の極限の性質②」で示した数列の逆数の極限より
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]
が成り立ちます。
したがって、「発散する数列の極限の性質②」で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\cdot
c_n\\[0.5em]&\large=\infty\end{align*}
が成り立つことがわかります。
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