眼球定理とは？

　眼球定理とは、

　2つの円$\text{C}_1, \text{C}_2$があり、それぞれの中心を$\text{O}_1, \text{O}_2$とする。ただし、$\text{O}_1\text{O}_2$は$\text{C}_1, \text{C}_2$の半径の大きいほうよりさらに大きいものとする。

$\text{O}_1$から円$\text{C}_2$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{P}, \text{Q}$とする。
そして、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{P}$の交点を$\text{A}$、$\text{C}_1$と半直線$\text{O}_1\text{Q}$の交点を$\text{B}$とする。

同様に、$\text{O}_2$から円$\text{C}_1$へ接線を2本引き、接点をそれぞれ$\text{R}, \text{S}$とする。
そして、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{R}$の交点を$\text{C}$、$\text{C}_2$と半直線$\text{O}_2\text{S}$の交点を$\text{D}$とする。

このとき、

\[\large \text{AB}=\text{CD}\]

が成り立つ。

というものです。

また、これの発展として、

　直線$\text{O}_1\text{O}_2$に関して同じ側にある接点を$\text{P}, \text{R}$とし、直線$\text{PR}$を引く。

直線$\text{PR}$と円$\text{C}_1$の点$\text{R}$以外の交点を$\text{R'}$、直線$\text{PR}$と円$\text{C}_2$の点$\text{P}$以外の交点を$\text{P'}$とすると

\[\large \text{RR'}=\text{PP'}\]

が成り立つ。

というものもあります。

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

Read More

数列の和・差・積・商の極限まとめ

　収束または無限大に発散する数列の和・差・積・商の極限をまとめました。

Read More

発散する数列と収束する数列の商の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の積・商の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の商の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{c_n}=0\end{gather*}

　ここからは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$α>0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}

$α<0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=-\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{c_n}{a_n}=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

発散する数列と収束する数列の積の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の積の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の積の極限

数列$\{a_n\}$について$α>0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=-\infty\end{gather*}

数列$\{a_n\}$について$α<0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a_n c_n=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

発散する数列と収束する数列の和・差の極限

　無限大に発散する数列と収束する数列の和・差の極限は以下のようになります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +c_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(b_n -a_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n -a_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

数列の大小関係を利用した極限の判定（はさみうちの原理、無限大に発散の判定）

　数列の大小関係を利用することで、極限のわからない数列の極限を判定する方法があります。
それは$N_0$を自然数として、次のようなものになります。

はさみうちの原理

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n≦c_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=α$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=α$が成り立つ。

正の無限大に発散を下から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≦b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$が成り立つ。

負の無限大に発散を上から判定

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n≧b_n$が成り立ち、かつ$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ならば、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$が成り立つ。

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

発散する数列の極限の性質②（四則演算）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}c_n=-\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}d_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(c_n +d_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の差の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -c_n\bigr)=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\bigl(d_n -b_n\bigr)=-\infty\end{gather*}

数列の積の極限

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}b_n c_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c_n d_n=\infty\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

発散する数列の極限の性質①（定数倍、逆数）

　無限大に発散する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=-\infty\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$c$が正の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=-\infty\end{gather*}

$c=0$のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=0\end{gather*}

$c$が負の定数のとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}c a_n=-\infty\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}c b_n=\infty\end{gather*}

数列の逆数の極限

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項についてそれぞれ$a_n, b_n≠0$であるとき

\begin{gather*}\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=0\end{gather*}

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

収束する数列の極限の性質③（四則演算）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

数列の和の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]

数列の差の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]

数列の積の極限

\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]

数列の商の極限

　ここでは、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$β≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n>0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α>0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\]

数列$\{a_n\}$について$α<0$、数列$\{b_n\}$の第$N_0 +1$項以降のすべての項について$b_n<0$が成り立ち、かつ$β=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

Read More

収束する数列の極限の性質②（定数倍、逆数）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}$について

\[\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]

が成り立つとします。

数列の定数倍の極限

$k$を任意の実数とすると

\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]

数列の逆数の極限

　ここでは、数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$が成り立つとします。
また、$N_0$を自然数とします。

$α≠0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n>0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\]

第$N_0 +1$項以降のすべての項について$a_n<0$が成り立ち、かつ$α=0$であるとき

\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=-\infty\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③（εやKの範囲を制限かつεやKを正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件①」と「数列の収束、無限大に発散の定義と同値な条件②」を組み合わせた同値な条件があります。

正の定数$c, ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

Read More

収束する数列の極限の性質①（一意性、大小関係）

　収束する数列の極限には、以下のような性質があります。

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について

\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}

が成り立つとします。

極限の一意性

　数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n=b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha=\beta\]

極限の大小関係

数列$\{a_n\}, \{b_n\}$のすべての項で$a_n≦b_n$が成り立つならば

\[\large\alpha\leqq\beta\]

なぜこれらは成り立つのでしょうか？

Read More

収束する数列の性質（収束する数列と有界な数列）

数列$\{a_n\}$が収束するならば、すべての項において$|a_n|<K$を満たす正の数$K$が存在する。

といえます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

Read More

数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②（εやKの正の定数倍）

　数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。

正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

Read More

実数における三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、実数$x, y$における三角不等式は

\[\large \bigl||x|-|y|\bigr|\leqq |x+y|\leqq |x|+|y|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

Read More

幾何ベクトルにおける三角不等式

　三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$における三角不等式は

\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\]

となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）

なぜこれが成り立つのでしょうか？

Read More

数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①（εやKの範囲を制限）

　数列の極限の収束、無限大に発散の定義にはそれぞれ同値な条件があります。

正の定数$ε_0, K_0$と負の定数$L_0$をとると、同値な条件は以下のようなものです。

収束の定義と同値な条件

$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<ε$が成り立つ。

この条件は、収束の定義と比較して、$ε$の範囲をより$0$に近い部分に制限しています。

正の無限大に発散の定義と同値な条件

$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n>K$が成り立つ。

この条件は、正の無限大に発散の定義と比較して、$K$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。

負の無限大に発散の定義と同値な条件

$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$a_n<L$が成り立つ。

この条件は、負の無限大に発散の定義と比較して、$L$の範囲をより絶対値の大きい部分に制限しています。

なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？

Read More

イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ②数列の極限・発散

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の発散の定義をみてみます。

Read More

イプシロン-エヌ論法（ε-N論法） ①数列の極限・収束

　数列の極限を定義する方法がイプシロン-エヌ論法です。
本記事では、数列の収束の定義をみてみます。

Read More

正の数の実数乗の値と底の同値関係

　正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の実数乗の値と底の同値関係

正の数$a$と負の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\end{align}

正の数$a$と正の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\end{align}

正の数$a$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}

正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^x<a^y\end{align}

正の数$a, b$と負の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x\end{equation}

正の数$a, b$と正の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x\end{equation}

正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}

これらが成り立つことを確かめてみます。

Read More

正の数の累乗（自然数乗）の値と底の同値関係

　正の数の累乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の累乗の値と底の同値関係

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^n\end{align}

正の数の累乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^m<a^n\end{align}

正の数$a, b$と自然数$n$について

\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=b^n\end{align}

これらが成り立つことを確かめてみます。

Read More

正の数の整数乗の性質・大小関係

　正の数の整数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の整数乗の性質

$1<a$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}0<a^n<1&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]1<a^n&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=0\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と整数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}1<a^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]0<a^n<1&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=\infty\end{gather*}

特に、正の数$a$と整数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の整数乗の大小関係

・底が同じ場合

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m>a^n\]

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m<a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と整数$n$について

\[\large\begin{cases}a^n>b^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=b^n=1&(n=0)\\[0.5em]a^n<b^n&(n>0)\end{cases}\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

正の数の累乗（自然数乗）の性質・大小関係

　正の数の累乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の累乗の性質

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large a^n>1\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large0<a^n<1\\[0.5em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\end{gather*}

特に、正の数$a$と自然数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の累乗の大小関係

・底が同じ場合

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m<a^n\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m>a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\large a^n<b^n\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

Read More

互いに垂直な直線の方程式の係数の関係（直線の垂直条件）

　互いに垂直な直線$a_1x+b_1y+c_1=0$と$a_2x+b_2y+c_2=0$について、

\[\large a_1a_2+b_1b_2=0\]

互いに垂直な直線を表す1次関数$y=d_1x+e_1$と$y=d_2x+e_2$について、

\[\large d_1d_2=-1\]

という関係が成り立ちます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

Read More

x切片とy切片がわかっている直線の方程式（切片形）

　x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）である直線の方程式は

\[\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

と表されます。このような直線の方程式を切片形といいます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

Read More

通る2つの点の座標がわかっている直線の方程式

　異なる2つの点$(a, b)$と$(c, d)$を通る直線の方程式は

\[\large(b-d)x-(a-c)y +ad-bc=0\]

と表せます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

Read More

2つの定点を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式

　2つの定点$(a, b), (c, d)$を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

\[\large (a-c)x+(b-d)y-\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2}=0\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

Read More

直線の方程式（一般形）

　座標平面上のすべての直線は

\[\large lx +my +n=0\quad(ただし、l, mは同時に0でない)\]

という方程式で表すことができます。これを直線の方程式の一般形といいます。

なぜこのように表せるのでしょうか？

Read More

アポロニウスの円の方程式

　アポロニウスの円とは、

2つの定点からの距離の比が一定である（ただし、$1:1$でない）点からなる曲線

のことです。

関連：アポロニウスの円の定理とは？

この定義に従うことでアポロニウスの円の方程式を得ることができます。

Read More

双曲線の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の双曲線を表す方程式のことを双曲線の一般形といいます。

双曲線の一般形も双曲線の定義に従って導き出すことができます。

Read More

双曲線の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

中心が原点、2つの焦点がともにy軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。これら双曲線の方程式のことを双曲線の標準形といいます。
（ここでの双曲線とは、共通の焦点により得られる2つの双曲線両方を指します。）

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
頂点間の距離	$2a$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
頂点間の距離	$2b$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{a^2+b^2})$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

双曲線とは？

　双曲線とは、

2つの定点からの距離の差が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の差は$0$より大きく2定点間の距離より小さいものとします。
2つの定点のことを焦点といいます。

Read More

楕円の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の楕円を表す方程式のことを楕円の一般形といいます。
楕円の一般形も楕円の定義に従って導き出すことができます。

Read More

楕円の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円は

\[\large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。この楕円の方程式のことを楕円の標準形といいます。

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$a>b>0$
長軸の長さ	$2a$
短軸の長さ	$2b$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2-b^2}, 0)$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$b>a>0$
長軸の長さ	$2b$
短軸の長さ	$2a$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{b^2-a^2})$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

楕円とは？

楕円とは、

2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の和は2定点間の距離より大きいものとします。
この2つの定点のことを焦点といいます。

Read More

三角関数とは？ ④三角関数のグラフ

　任意の角度に対して定義された三角関数の振る舞いはグラフという形で表すことができます。

$\sin x, \cos x, \tan x$のグラフがどのような形であるのかを見てみます。

Read More

三角関数とは？ ③三角関数の値を求める

　前回は、三角関数の単位円による定義と、象限ごとの三角関数の値の符号や変化についてみました。

では、三角関数の具体的な値はどのように求めるのでしょうか？

Read More

三角関数とは？ ②単位円による定義

　三角比とは、直角三角形の1つの鋭角$θ$に対して定まる2つの辺の比のことで、代表的なものに$\sinθ, \cosθ, \tanθ$があります。

関連：三角関数とは？　①三角比（直角三角形による定義）

これらの値は、鋭角$θ$の大きさに応じてただ1つに定まります。
このように、ある値を決めると対応する値が1つに決まる関係を関数といいます。

関連：関数とは？

したがって、$\sinθ, \cosθ, \tanθ$は関数として扱うことができ、これらをまとめて三角関数といいます。
すなわち、角度と三角比の値との対応関係に着目したものが三角関数です。

直角三角形による定義においては三角比と三角関数は同じものとして扱うことができます。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。

そこで、任意の角度においても値を定められるように、直角三角形に依存しない定義として単位円をもちいて三角関数を定義します。

Read More

三角関数とは？ ①三角比（直角三角形による定義）

　三角関数$\sinθ, \cosθ, \tanθ$とは何でしょうか？

これらはまず、直角三角形における三角比として定義されます。

Read More

円の方程式

　原点を中心とする半径$r$（ただし、$r>0$）の円の方程式は

\[\large x^2+y^2=r^2\]

点$(p,q)$（$p, q:$実数）を中心とする半径$r$の円の方程式は

\[\large (x-p)^2+(y-q)^2=r^2\]

です。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

球の表面積（球の体積から導く）

　半径$r$の球の表面積は

\[\large 4\pi r^2\]

となります。

この球の表面積の公式を半径$r$の球の体積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$から導いてみます。

Read More

球の体積（カヴァリエリの原理をもちいて導く）

　半径$r$の球の体積は

\[\large \frac{4}{3}\pi r^3\]

となります。

この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用して導いてみます。

Read More

錐体の体積（なぜ錐体の体積は柱体の体積の1/3なのか？）

　錐体の体積は

\[\large(錐体の体積)=(底面積)\times(高さ)\div3\]

となります。

これは、底面が合同で高さが等しい柱体の体積の$\dfrac{1}{3}$であることを意味しますが、なぜこれが成り立つのでしょうか？

Read More

三角錐を底面に平行な平面で切断したときの断面は底面と相似か？

　三角錐とは、三角形の頂点と同一平面上にない1つの頂点を線分で結んでできる空間図形のことです。

この三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な形になっているでしょうか？

Read More

カヴァリエリの原理とは？

　カヴァリエリの原理とは、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがありますが、共通して一言でいえば

高さごとの切り口が同じならば全体の大きさが同じ

というものです。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

Read More

体積とは？（立方体・直方体・柱体の体積）

　体積とは、空間図形の広さを数値で表したものです。

直方体の体積は

\begin{gather*}\large (直方体の体積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\times(高さ)\\[0.5em]\large(直方体の体積)=(底面積)\times(高さ)\end{gather*}

立方体の体積は

\[\large (立方体の体積)=(1辺の長さ)^3\]

柱体の体積は

\[\large (柱体の体積)=(底面積)\times(高さ)\]

となります。

なぜこのようにして体積が求められるのでしょうか？

Read More

円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導く（取りつくし法）

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円の面積の公式を導く方法を考えてみます。

Read More

円に内接・外接する正多角形を利用して円周率と円周の公式を導く

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円周率や円周の公式を導く方法を考えてみます。

Read More

円の面積（細かく分割して組み替えて求める）

　半径が$r$の円の面積は

\[\large\pi r^2\]

となります。

これはなぜなのでしょうか？

Read More

面積とは？（正方形・長方形・平行四辺形・台形・三角形の面積）

　面積とは、平面上の図形の広さを数値で表したものです。

長方形の面積は

\[\large (長方形の面積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\]

正方形の面積は

\[\large (正方形の面積)=(1辺の長さ)\times(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2\]

平行四辺形の面積は

\[\large(平行四辺形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\]

台形の面積は

\[\large(台形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(高さ)\div2\]

三角形の面積は

\[\large(三角形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\div2\]

となります。

なぜこのようにして面積が求められるのでしょうか？

Read More

和と積が等しい2つの整数は？

\[\large a+b=ab\]

「上の方程式を満たす整数$a, b$の組を全て求めよ。」

Read More

確率とは？（「同様に確からしい」という仮定）

　確率とは、ある事象が起こる可能性がどのくらいあるのかを数値で表したものです。

Read More

2次関数とは？（グラフの形、頂点、軸）

　2次関数とは、

\[\large y=ax^2+bx+c\qquad(a, b, c:定数,a\neq0)\]

という独立変数（ここでは$x$）についての2次式によって値が決まる関数のことです。

Read More

直角三角形の相似・相似条件

　2つの直角三角形が相似であるかを示すとき、三角形の相似条件

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

だけではなく、直角三角形でのみ利用できる直角三角形の相似条件というものがあります。
それは、

• 斜辺と他の1組の辺の比が等しい（あるいは、2組の辺の比が等しい）
• 1組の鋭角が等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

Read More

三角形の相似・相似条件

　三角形の相似条件とは、

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

Read More

平行線と線分の比の性質 ②3本の平行線を横切る2本の直線

　3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について以下のことが成り立ちます。

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{A}, \text{B}, \text{C}$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{D}, \text{E}, \text{F}$とすると

\[\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

これが成り立つことを確かめてみます。

Read More

平行線と線分の比の性質 ①三角形を横切る1辺に平行な直線

　$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$に平行な直線を半直線$\text{AB}, \text{AC}$と交わるように引き、それぞれの半直線との交点を$\text{P}, \text{Q}$とします。

すると、線分の長さについて以下のことが成り立ちます。

性質①：

\[\large\text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}\]

性質②：

\[\large\text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}\]

性質①の逆：半直線$\text{AB}$上の点$\text{P}$と半直線$\text{AC}$上の点$\text{Q}$について、
$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$が成り立つならば

\[\large\text{BC}//\text{PQ}\]

これらのことを確かめてみます。

Read More