正の数の実数乗の値と底の同値関係

　正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の実数乗の値と底の同値関係

正の数$a$と負の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\end{align}

正の数$a$と正の実数$x$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^x\end{align}

正の数$a$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}

正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^x<a^y\end{align}

正の数$a, b$と負の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x\end{equation}

正の数$a, b$と正の実数$x$について

\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x\end{equation}

正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について

\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の累乗（自然数乗）の値と底の同値関係

　正の数の累乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。

正の数の累乗の値と底の同値関係

正の数$a$と自然数$n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large0<a^n<1\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large1<a^n\end{align}

正の数の累乗の大小関係と底の同値関係

正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m>a^n\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\ &\large a^m=a^n=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large a^m<a^n\end{align}

正の数$a, b$と自然数$n$について

\begin{align}\large a<b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n<b^n\\[1em]\large a=b\ \Leftrightarrow\ &\large a^n=b^n\end{align}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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正の数の整数乗の性質・大小関係

　正の数の整数乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の整数乗の性質

$1<a$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}0<a^n<1&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]1<a^n&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=0\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と整数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と整数$n$について

\begin{gather*}\large\begin{cases}1<a^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=1&(n=0)\\[0.5em]0<a^n<1&(n>0)\end{cases}\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\\[1em]\large\lim_{n\to-\infty}a^n=\infty\end{gather*}

特に、正の数$a$と整数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の整数乗の大小関係

・底が同じ場合

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m>a^n\]

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\[\large&a^m<a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と整数$n$について

\[\large\begin{cases}a^n>b^n&(n<0)\\[0.5em]a^n=b^n=1&(n=0)\\[0.5em]a^n<b^n&(n>0)\end{cases}\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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正の数の累乗（自然数乗）の性質・大小関係

　正の数の累乗の性質と大小関係は以下のようになります。

正の数の累乗の性質

$1<a$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large a^n>1\\[1em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=\infty\end{gather*}

$a=1$である正の数$a$と自然数$n$について、$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$について

\begin{gather*}\large0<a^n<1\\[0.5em]\large\lim_{n\to\infty}a^n=0\end{gather*}

特に、正の数$a$と自然数$n$について、$a$と$n$の値にかかわらず常に

\[\large a^n>0\]

正の数の累乗の大小関係

・底が同じ場合

$1<a$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m<a^n\]

$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず常に

\[\large a^m=a^n=1\]

$0<a<1$である正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について

\[\large a^m>a^n\]

・底が異なる場合

$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$について

\[\large a^n<b^n\]

なぜこれらが成り立つのでしょうか？

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互いに垂直な直線の方程式の係数の関係（直線の垂直条件）

　互いに垂直な直線$a_1x+b_1y+c_1=0$と$a_2x+b_2y+c_2=0$について、

\[\large a_1a_2+b_1b_2=0\]

互いに垂直な直線を表す1次関数$y=d_1x+e_1$と$y=d_2x+e_2$について、

\[\large d_1d_2=-1\]

という関係が成り立ちます。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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x切片とy切片がわかっている直線の方程式（切片形）

　x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）である直線の方程式は

\[\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

と表されます。このような直線の方程式を切片形といいます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

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通る2つの点の座標がわかっている直線の方程式

　異なる2つの点$(a, b)$と$(c, d)$を通る直線の方程式は

\[\large(b-d)x-(a-c)y +ad-bc=0\]

と表せます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

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2つの定点を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式

　2つの定点$(a, b), (c, d)$を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

\[\large (a-c)x+(b-d)y-\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2}=0\]

となります。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

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直線の方程式（一般形）

　座標平面上のすべての直線は

\[\large lx +my +n=0\quad(ただし、l, mは同時に0でない)\]

という方程式で表すことができます。これを直線の方程式の一般形といいます。

なぜこのように表せるのでしょうか？

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アポロニウスの円の方程式

　アポロニウスの円とは、

2つの定点からの距離の比が一定である（ただし、$1:1$でない）点からなる曲線

のことです。

関連：アポロニウスの円の定理とは？

この定義に従うことでアポロニウスの円の方程式を得ることができます。

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双曲線の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の双曲線を表す方程式のことを双曲線の一般形といいます。

双曲線の一般形も双曲線の定義に従って導き出すことができます。

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双曲線の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

中心が原点、2つの焦点がともにy軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。これら双曲線の方程式のことを双曲線の標準形といいます。
（ここでの双曲線とは、共通の焦点により得られる2つの双曲線両方を指します。）

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
頂点間の距離	$2a$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
頂点間の距離	$2b$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{a^2+b^2})$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

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双曲線とは？

　双曲線とは、

2つの定点からの距離の差が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の差は$0$より大きく2定点間の距離より小さいものとします。
2つの定点のことを焦点といいます。

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楕円の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の楕円を表す方程式のことを楕円の一般形といいます。
楕円の一般形も楕円の定義に従って導き出すことができます。

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楕円の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円は

\[\large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。この楕円の方程式のことを楕円の標準形といいます。

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$a>b>0$
長軸の長さ	$2a$
短軸の長さ	$2b$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2-b^2}, 0)$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$b>a>0$
長軸の長さ	$2b$
短軸の長さ	$2a$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{b^2-a^2})$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

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楕円とは？

楕円とは、

2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の和は2定点間の距離より大きいものとします。
この2つの定点のことを焦点といいます。

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三角関数とは？ ④三角関数のグラフ

　任意の角度に対して定義された三角関数のふるまいはグラフという形で表すことができます。

$\sin x, \cos x, \tan x$のグラフがどのような形であるのかを見てみます。

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三角関数とは？ ③三角関数の値を求める

　前回は、三角関数の単位円による定義と、象限ごとの三角関数の値の符号や変化についてみました。

では、三角関数の具体的な値はどのように求めるのでしょうか？

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三角関数とは？ ②単位円による定義

　三角比とは、直角三角形の1つの鋭角$θ$に対して定まる2つの辺の比のことで、代表的なものに$\sinθ, \cosθ, \tanθ$があります。

関連：三角関数とは？　①三角比（直角三角形による定義）

これらの値は、鋭角$θ$の大きさに応じてただ1つに定まります。
このように、ある値を決めると対応する値が1つに決まる関係を関数といいます。

関連：関数とは？

したがって、$\sinθ, \cosθ, \tanθ$は関数として扱うことができ、これらをまとめて三角関数といいます。
すなわち、角度と三角比の値との対応関係に着目したものが三角関数です。

直角三角形による定義においては三角比と三角関数は同じものとして扱うことができます。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。

そこで、任意の角度においても値を定められるように、直角三角形に依存しない定義として単位円をもちいて三角関数を定義します。

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三角関数とは？ ①三角比（直角三角形による定義）

　三角関数$\sinθ, \cosθ, \tanθ$とは何でしょうか？

これらはまず、直角三角形における三角比として定義されます。

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円の方程式

　原点を中心とする半径$r$（ただし、$r>0$）の円の方程式は

\[\large x^2+y^2=r^2\]

点$(p,q)$（$p, q:$実数）を中心とする半径$r$の円の方程式は

\[\large (x-p)^2+(y-q)^2=r^2\]

です。

なぜこのように表されるのでしょうか？

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球の表面積（球の体積から導く）

　半径$r$の球の表面積は

\[\large 4\pi r^2\]

となります。

この球の表面積の公式を半径$r$の球の体積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$から導いてみます。

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球の体積（カヴァリエリの原理をもちいて導く）

　半径$r$の球の体積は

\[\large \frac{4}{3}\pi r^3\]

となります。

この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用して導いてみます。

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錐体の体積（なぜ錐体の体積は柱体の体積の1/3なのか？）

　錐体の体積は

\[\large(錐体の体積)=(底面積)\times(高さ)\div3\]

となります。

これは、底面が合同で高さが等しい柱体の体積の$\dfrac{1}{3}$であることを意味しますが、なぜこれが成り立つのでしょうか？

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三角錐を底面に平行な平面で切断したときの断面は底面と相似か？

　三角錐とは、三角形の頂点と同一平面上にない1つの頂点を線分で結んでできる空間図形のことです。

この三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な形になっているでしょうか？

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カヴァリエリの原理とは？

　カヴァリエリの原理とは、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがありますが、共通して一言でいえば

高さごとの切り口が同じならば全体の大きさが同じ

というものです。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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体積とは？（立方体・直方体・柱体の体積）

　体積とは、空間図形の広さを数値で表したものです。

直方体の体積は

\begin{gather*}\large (直方体の体積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\times(高さ)\\[0.5em]\large(直方体の体積)=(底面積)\times(高さ)\end{gather*}

立方体の体積は

\[\large (立方体の体積)=(1辺の長さ)^3\]

柱体の体積は

\[\large (柱体の体積)=(底面積)\times(高さ)\]

となります。

なぜこのようにして体積が求められるのでしょうか？

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円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導く（取りつくし法）

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円の面積の公式を導く方法を考えてみます。

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円に内接・外接する正多角形を利用して円周率と円周の公式を導く

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円周率や円周の公式を導く方法を考えてみます。

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円の面積（細かく分割して組み替えて求める）

　半径が$r$の円の面積は

\[\large\pi r^2\]

となります。

これはなぜなのでしょうか？

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面積とは？（正方形・長方形・平行四辺形・台形・三角形の面積）

　面積とは、平面上の図形の広さを数値で表したものです。

長方形の面積は

\[\large (長方形の面積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\]

正方形の面積は

\[\large (正方形の面積)=(1辺の長さ)\times(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2\]

平行四辺形の面積は

\[\large(平行四辺形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\]

台形の面積は

\[\large(台形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(高さ)\div2\]

三角形の面積は

\[\large(三角形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\div2\]

となります。

なぜこのようにして面積が求められるのでしょうか？

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和と積が等しい2つの整数は？

\[\large a+b=ab\]

「上の方程式を満たす整数$a, b$の組を全て求めよ。」

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確率とは？（「同様に確からしい」という仮定）

　確率とは、ある事象が起こる可能性がどのくらいあるのかを数値で表したものです。

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2次関数とは？（グラフの形、頂点、軸）

　2次関数とは、

\[\large y=ax^2+bx+c\qquad(a, b, c:定数,a\neq0)\]

という独立変数（ここでは$x$）についての2次式によって値が決まる関数のことです。

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直角三角形の相似・相似条件

　2つの直角三角形が相似であるかを示すとき、三角形の相似条件

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

だけではなく、直角三角形でのみ利用できる直角三角形の相似条件というものがあります。
それは、

• 斜辺と他の1組の辺の比が等しい（あるいは、2組の辺の比が等しい）
• 1組の鋭角が等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

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三角形の相似・相似条件

　三角形の相似条件とは、

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

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平行線と線分の比の性質 ②3本の平行線を横切る2本の直線

　3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について以下のことが成り立ちます。

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{A}, \text{B}, \text{C}$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{D}, \text{E}, \text{F}$とすると

\[\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

これが成り立つことを確かめてみます。

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平行線と線分の比の性質 ①三角形を横切る1辺に平行な直線

　$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$に平行な直線を半直線$\text{AB}, \text{AC}$と交わるように引き、それぞれの半直線との交点を$\text{P}, \text{Q}$とします。

すると、線分の長さについて以下のことが成り立ちます。

性質①：

\[\large\text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}\]

性質②：

\[\large\text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}\]

性質①の逆：半直線$\text{AB}$上の点$\text{P}$と半直線$\text{AC}$上の点$\text{Q}$について、
$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$が成り立つならば

\[\large\text{BC}//\text{PQ}\]

これらのことを確かめてみます。

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