星型五角形の先端の角度の和はなぜ180°なのか？

　なぜ星型五角形の先端部分の角度の和は$180°$になるのでしょうか？

　星型五角形の内部には五角形があり、その周囲に5つの三角形があります。

この5つの三角形の内角のうち、五角形に隣接している内角（赤と緑で示した角）は五角形の外角でもあります。

外角1つの大きさの求め方は
$$(外角)=180°-(内角)$$
なので、五角形のそれぞれの外角1組分の和は

$$(外角の和)=180°×5-(内角の和)$$

となります。五角形の内角の和は540°なので赤で示した外角の和は

$$\begin{align*}(赤の外角の和)&=180°×5-540°\\ \\ &=900°-540°\\ \\ &=360°\end{align*}$$

であるとわかります。

また、頂点が共通している外角同士は対頂角なので大きさが等しく、緑で示した外角の和も$360°$であるとわかります。

このことから、星型五角形の先端部分の角度の和は5つの三角形の内角の和から赤と緑の角度の和を引けば良いので

$$\begin{align*}180°×5-(360°+360°)&=900°-720°\\ \\ &=180°\end{align*}$$

となるため、星型五角形の先端部分の角度の和が$180°$であることがわかります。

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