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2022年7月9日

1次方程式をグラフで考える

 例として1次方程式
-3x+7=x+5

について考えます。
これを解くとx=\dfrac{1}{2}となります。
1次方程式をグラフで考えたとき、この解にはどんな意味があるでしょうか?

xに適切な値を代入したとき、左辺と右辺は同じ値を持ちます。
このときの値をyとおくと、
\left\{\begin{aligned}y&=-3x+7\\ \\ y&=x+5\end{aligned}\right.


という連立方程式を代入法によって変形したものが例の1次方程式であると考えることができます。

この連立されている2つの方程式のグラフは
となり、交点は\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{2}\right)なので、これが連立方程式の解となります。

そして、この交点で連立した2つの方程式は同じyの値を持つので、このとき例の1次方程式の等号が成り立ちます。
したがって、交点のx座標は例の1次方程式の解となることがわかります。

 また、1次方程式を以下のように変形してみます。
\begin{align*}-3x+7&=x+5&(元の1次方程式)\\ \\ -2x+1&=2x-1&(変形1)\\ \\ 2&=4x&(変形2)\end{align*}

これら変形後の1次方程式から同様に連立方程式をつくり、それぞれのグラフを描いてみると
いずれもx座標が\dfrac{1}{2}の点、すなわち直線x=\dfrac{1}{2}上に必ずあります。これは1次方程式をどのように変形しても解となるxの値は変わらないためです。

 このように、1次方程式は連立方程式に変形して考えると2直線の交点のx座標が解となることがわかります。


関連:連立方程式をグラフで考える

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