1次方程式をグラフで考える

　例として1次方程式
\[-3x+7=x+5\]
について考えます。

これを解くと$x=\dfrac{1}{2}$となります。

1次方程式をグラフで考えたとき、この解にはどんな意味があるでしょうか？

$x$に適切な値を代入したとき、左辺と右辺は同じ値を持ちます。
このときの値を$y$とおくと、
\[\left\{\begin{aligned}y&=-3x+7\\ \\ y&=x+5\end{aligned}\right.\]
という連立方程式を代入法によって変形したものが例の1次方程式であると考えることができます。

この連立されている2つの方程式のグラフは

となり、交点は$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{11}{2}\right)$なので、これが連立方程式の解となります。

そして、この交点で連立した2つの方程式は同じ$y$の値を持つので、このとき例の1次方程式の等号が成り立ちます。
したがって、交点のx座標は例の1次方程式の解となることがわかります。

　また、1次方程式を以下のように変形してみます。

\begin{align*}-3x+7&=x+5&(元の1次方程式)\\ \\ -2x+1&=2x-1&(変形1)\\ \\ 2&=4x&(変形2)\end{align*}

これら変形後の1次方程式から同様に連立方程式をつくり、それぞれのグラフを描いてみると

いずれもx座標が$\dfrac{1}{2}$の点、すなわち直線$x=\dfrac{1}{2}$上に必ずあります。これは1次方程式をどのように変形しても解となる$x$の値は変わらないためです。

　このように、1次方程式は連立方程式に変形して考えると2直線の交点のx座標が解となることがわかります。

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