共役複素数の性質 ~ 数学について考えてみる

　共役複素数は実軸に関して対称な位置にある複素数のことです。なので、虚部の符号が逆転しています。
複素数

z = a + b i, w = c + d i

$z=a+bi,w=c+di$

(a, b, c, d : 実 数)

$(a,b,c,d:実数)$ について、それぞれの共役複素数は

¯ z = a - b i, ¯ w = c - d i

$\bar{z}=a-bi,\bar{w}=c-di$ となります。

極形式で

z, w

$z,w$ を表すと

\begin{matrix} z & = r_{1} (cos θ + i sin θ) = r_{1} e^{i θ} w & = r_{2} (cos ϕ + i sin ϕ) = r_{2} e^{i ϕ} ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} た だ し 、 r_{1} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, & r_{2} = \sqrt{c^{2} + d^{2}} cos θ = \frac{a}{r_{1}}, & sin θ = \frac{b}{r_{1}} cos ϕ = \frac{c}{r_{2}}, & sin ϕ = \frac{d}{r_{2}} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \end{matrix}

$\begin{align*}z&=r_1(\cos\theta+i\sin\theta)=r_1e^{i\theta}\\[0.5em]w&=r_2(\cos\phi+i\sin\phi)=r_2e^{i\phi}\\ &\left(\begin{aligned}ただし、r_1=\sqrt{a^2+b^2},&\ r_2=\sqrt{c^2+d^2}\\[0.5em]\cos\theta=\frac{a}{r_1},&\ \sin\theta=\frac{b}{r_1}\\[0.5em]\cos\phi=\frac{c}{r_2},&\ \sin\phi=\frac{d}{r_2}\end{aligned}\right)\end{align*}$

となり、それぞれの共役複素数は偏角の符号が逆転した

\begin{matrix} ¯ z & = r_{1} {cos (- θ) + i sin (- θ)} = r_{1} e^{- i θ} ¯ w & = r_{2} {cos (- ϕ) + i sin (- ϕ)} = r_{2} e^{- i ϕ} \end{matrix}

$\begin{align*}\bar{z}&=r_1\bigl\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr\}=r_1e^{-i\theta}\\[0.5em]\bar{w}&=r_2\bigl\{\cos(-\phi)+i\sin(-\phi)\bigr\}=r_2e^{-i\phi}\end{align*}$

となります。

これらをもちいて共役複素数の性質とそれらが成り立つことを見ていきます。

1. 複素数 $z$ が実数のとき

z = ¯ z

$\Large z=\bar{z}$

z

$z$ が実数のとき

b = 0

$b=0$ なので

\begin{matrix} z & = a + 0 i = a ¯ z & = a - 0 i = a \end{matrix}

$\begin{align*}z&=a+0i=\textcolor{red}{a}\\[1.5em]\bar{z}&=a-0i=\textcolor{red}{a}\end{align*}$

となり、成り立ちます。

2. 共役複素数の和・差

¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ z \pm w = ¯ z \pm ¯ w (複 号 同 順)

$\Large\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm\bar{w}\quad(複号同順)$

左辺と右辺についてそれぞれ直交形式で表すと

\begin{matrix} z \pm w & = (a + b i) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i ∴ ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ z \pm w = (a \pm c) - (b \pm d) i ¯ z \pm ¯ w & = (a - b i) \pm (c - d i) = (a \pm c) - (b \pm d) i & (複 号 同 順) \end{matrix}

$\begin{align*}z\pm w&=(a+bi)\pm(c+di)\\[0.5em]&=(a\pm c)+(b\pm d)i\\[1em]&\therefore\overline{z\pm w}=\textcolor{red}{(a\pm c)-(b\pm d)i}\\[1.5em]\bar{z}\pm\bar{w}&=(a-bi)\pm(c-di)\\[0.5em]&=\textcolor{red}{(a\pm c)-(b\pm d)i}&(複号同順)\end{align*}$

となるため成り立ちます。

3. 共役複素数の積

¯ ¯¯¯¯¯ ¯ z w = ¯ z ¯ w

$\Large \overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$

左辺と右辺についてそれぞれオイラーの公式を利用して表すと

\begin{matrix} z w & = r_{1} e^{i θ} \cdot r_{2} e^{i ϕ} = r_{1} r_{2} e^{i (θ + ϕ)} ∴ ¯ ¯¯¯¯¯ ¯ z w = r_{1} r_{2} e^{- i (θ + ϕ)} ¯ z ¯ w & = r_{1} e^{- i θ} \cdot r_{2} e^{- i ϕ} = r_{1} r_{2} e^{- i θ - i ϕ} = r_{1} r_{2} e^{- i (θ + ϕ)} \end{matrix}

$\begin{align*}zw&=r_1e^{i\theta}\cdot r_2e^{i\phi}\\[0.5em]&=r_1r_2e^{i(\theta+\phi)}\\[1em]&\therefore\overline{zw}=\textcolor{red}{r_1r_2e^{-i(\theta+\phi)}}\\[1.5em]\bar{z}\bar{w}&=r_1e^{-i\theta}\cdot r_2e^{-i\phi}\\[0.5em]&=r_1r_2e^{-i\theta-i\phi}\\[0.5em]&=\textcolor{red}{r_1r_2e^{-i(\theta+\phi)}}\end{align*}$

となるため成り立ちます。

4. 共役複素数の商

$\Large \overline{\frac{z}{w}}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\quad(ただしw\neq0)$

左辺と右辺についてそれぞれオイラーの公式を利用して表すと

\begin{matrix} \frac{z}{w} & = \frac{r_{1} e^{i θ}}{r_{2} e^{i ϕ}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ - ϕ)} ∴ ¯ ¯¯¯¯ ¯ \frac{z}{w} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{- i (θ - ϕ)} \frac{¯ z}{¯ w} & = \frac{r_{1} e^{- i θ}}{r_{2} e^{- i ϕ}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{- i θ + i ϕ} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{- i (θ - ϕ)} & (\begin{matrix} た だ し 、 r_{2} \neq 0 す な わ ち w \neq 0 \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{z}{w}&=\frac{r_1e^{i\theta}}{r_2e^{i\phi}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta-\phi)}\\[1em]&\therefore\overline{\frac{z}{w}}=\textcolor{red}{\frac{r_1}{r_2}e^{-i(\theta-\phi)}}\\[1.5em]\frac{\bar{z}}{\bar{w}}&=\frac{r_1e^{-i\theta}}{r_2e^{-i\phi}}\\[0.5em]&=\frac{r_1}{r_2}e^{-i\theta+i\phi}\\[0.5em]&=\textcolor{red}{\frac{r_1}{r_2}e^{-i(\theta-\phi)}}&\left(\begin{aligned}ただし、r_2\neq0\\ すなわちw\neq0\end{aligned}\right)\end{align*}$

となるため成り立ちます。

5. 共役複素数のべき乗

^{n} = {(¯ z)}^{n} (n : 整 数)

$\Large \overline{z^n}=\left(\bar{z}\right)^n\quad(n:整数)$

左辺と右辺についてそれぞれオイラーの公式を利用して表すと

\begin{matrix} z^{n} & = {(r_{1} e^{i θ})}^{n} = {r_{1}}^{n} e^{i n θ} ∴^{n} = {r_{1}}^{n} e^{- i n θ} {(¯ z)}^{n} & = {(r_{1} e^{- i θ})}^{n} = {r_{1}}^{n} e^{- i n θ} \end{matrix}

$\begin{align*}z^n&=\left(r_1e^{i\theta}\right)^n\\[0.5em]&={r_1}^ne^{in\theta}\\[1em]&\therefore\overline{z^n}=\textcolor{red}{{r_1}^ne^{-in\theta}}\\[1.5em]\left(\bar{z}\right)^n&=\left(r_1e^{-i\theta}\right)^n\\[0.5em]&=\textcolor{red}{{r_1}^ne^{-in\theta}}\end{align*}$

となるため成り立ちます。

6. 共役複素数の共役複素数

¯ ¯ z = z

$\Large \bar{\bar{z}}=z$

共役複素数は虚部の正負が反転することから

\begin{matrix} ¯ ¯ z & = a - (- b) i = a + b i \end{matrix}

$\begin{align*}\bar{\bar{z}}&=a-(-b)i\\[0.5em]&=a+bi\end{align*}$

となるため成り立ちます。

7. 複素数と共役複素数の積

z ¯ z = | z |^{2}

$\Large z\bar{z}=|z|^2$

左辺を直交形式で計算してみると

\begin{matrix} z ¯ z & = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - (b i)^{2} = a^{2} + b^{2} \end{matrix}

$\begin{align*}z\bar{z}&=(a+bi)(a-bi)\\[0.5em]&=a^2-(bi)^2\\[0.5em]&=a^2+b^2\end{align*}$

ここで、複素数の絶対値は

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ であるから右辺と一致します。

8. 共役複素数の大きさ

| z | = | ¯ z |

$\Large |z|=|\bar{z}|$

6.、7.を利用して右辺と左辺について直交形式で表すと

\begin{matrix} | z | & = \sqrt{z ¯ z} = \sqrt{(a + b i) (a - b i)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} | ¯ z | & = \sqrt{¯ z ¯ ¯ z} = \sqrt{¯ z z} = \sqrt{(a - b i) (a + b i)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*}|z|&=\sqrt{z\bar{z}}\\[0.5em]&=\sqrt{(a+bi)(a-bi)}\\[0.5em]&=\textcolor{red}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[1.5em]|\bar{z}|&=\sqrt{\bar{z}\bar{\bar{z}}}\\[0.5em]&=\sqrt{\bar{z}z}\\[0.5em]&=\sqrt{(a-bi)(a+bi)}\\[0.5em]&=\textcolor{red}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align*}$

となるため成り立ちます。

9. 複素数の逆数

\frac{1}{z} = \frac{¯ z}{| z |^{2}} (た だ し z \neq 0)

$\Large \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\quad(ただしz\neq0)$

左辺の分母と分子に

¯ z

$\bar{z}$ を掛けて7.を利用すると

\begin{matrix} \frac{1}{z} & = \frac{¯ z}{z ¯ z} = \frac{¯ z}{| z |^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{1}{z}&=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}\\[0.5em]&=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\end{align*}$

となるため成り立ちます。

10. 複素数の実部

z + ¯ z = 2 a

$\Large z+\bar{z}=2a$

左辺を直交形式で計算してみると

\begin{matrix} z + ¯ z & = (a + b i) + (a - b i) = 2 a \end{matrix}

$\begin{align*}z+\bar{z}&=(a+bi)+(a-bi)\\[0.5em]&=2a\end{align*}$

となるため成り立ちます。

11. 複素数の虚数部分

z - ¯ z = 2 b i

$\Large z-\bar{z}=2bi$

左辺を直交形式で計算してみると

\begin{matrix} z - ¯ z & = (a + b i) - (a - b i) = 2 b i \end{matrix}

$\begin{align*}z-\bar{z}&=(a+bi)-(a-bi)\\[0.5em]&=2bi\end{align*}$

となるため成り立ちます。

10. 11.より、複素数の実部

$a$ 、虚部

$b$ は

$\begin{align*}a&=\frac{z+\bar{z}}{2}\\[0.5em]b&=\frac{z-\bar{z}}{2i}\end{align*}$

で求めることができます。

12. 複素数の偏角部分

$\Large e^{i\theta}=\sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}$

左辺をオイラーの公式を利用して変形すると

$\begin{align*}e^{i\theta}&=\frac{r_1e^{i\theta}}{r_1}\\[0.5em]&=\frac{z}{|z|}&(\because|z|=\sqrt{a^2+b^2}=r_1)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{z^2}}{\sqrt{z\bar{z}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{\bar{z}}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}\end{align*}$

となるため成り立ちます。