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2022年7月24日

絶対値を含む2次不等式を解く

「次の不等式を解け。

(1)|x25x+6|>3|x25x+6|>3

(2)|2x25x3|x|2x25x3|x

  このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

(1)|x25x+6|>3|x25x+6|>3

 解く手順は絶対値を含む1次不等式と同じように場合分けをして解きます。
x25x+6=(x2)(x3)<02<x<3|x25x+6|=(x25x+6)=x2+5x6(x2)(x3)0x2,3x|x25x+6|=x25x+6
となるので、この条件で場合分けします。

2<x<3のとき

x2+5x6>3x25x+9<0
ここで、x25x+9に判別式をもちいると
D=(5)249=11<0
となり、実数解を持たないため解なしとなります。

x2,3xのとき

x25x+6>3x25x+3>0
ここで、x25x+3=0の解は
x=5±(5)2432=5±132
であるので、
x<5132,5+132<x
となります。
3<13<4より
12<5132<14<5+132<92
であるから、条件2x3と共通している部分は
数直線よりx<5132,5+132<xとなります。

 以上よりこの不等式の解はx<5132,5+132<xであるとわかります。

(2)|2x25x3|x

2x25x3=(2x+1)(x3)<012<x<3|2x25x3|=(2x25x3)=2x2+5x+3(2x+1)(x3)0x12,3x|2x25x3|=2x25x3
となるので、この条件で場合分けします。

12<x<3のとき

2x2+5x+3x2x24x30
ここで、2x24x3=0の解は
x=2±(2)22(3)2=2±102
であるので、
x2102,2+102x
となります。
3<10<4より
1<2102<1252<2+102<3
であるので、条件x<12,3<xと共通している部分は
数直線より2+102x<3となります。

x12,3xのとき

2x25x3x2x26x30
ここで、2x26x3=0の解は
x=3±(3)22(3)2=3±152
であるので、
3152x3+152
となります。
3<15<4より
12<3152<03<3+152<72
であるので、条件x12,3xと共通している部分は
数直線より3x3+152となります。

 以上より、2+102x<3または3x3+152であるので、2+102x3+152とすることができ、これが不等式の解となります。

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