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2022年7月24日

絶対値を含む2次不等式を解く

「次の不等式を解け。

(1)\large |x^2-5x+6|>3

(2)\large |2x^2-5x-3|\leqq x

  このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

(1)|x^2-5x+6|>3

 解く手順は絶対値を含む1次不等式と同じように場合分けをして解きます。
\begin{align*}x^2-5x+6=(x-2)(x-3)<0\\ すなわち2<x<3&のとき\\ |x^2-5x+6|&=-(x^2-5x+6)=-x^2+5x-6\\ \\ (x-2)(x-3)\geqq0\\ すなわちx\leqq2,3\leqq x&のとき\\ |x^2-5x+6|&=x^2-5x+6\end{align*}
となるので、この条件で場合分けします。

2<x<3のとき

\begin{align*}-x^2+5x-6&>3\\ \\ x^2-5x+9&<0\end{align*}
ここで、x^2-5x+9に判別式をもちいると
D=(-5)^2-4\cdot9=-11<0
となり、実数解を持たないため解なしとなります。

x\leqq2,3\leqq xのとき

\begin{align*}x^2-5x+6&>3\\ \\ x^2-5x+3&>0\end{align*}
ここで、x^2-5x+3=0の解は
x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot3}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}
であるので、
x<\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{5+\sqrt{13}}{2}<x
となります。
3<\sqrt{13}<4より
\begin{align*}\frac{1}{2}<&\frac{5-\sqrt{13}}{2}<1\\ \\ 4<&\frac{5+\sqrt{13}}{2}<\frac{9}{2}\end{align*}
であるから、条件2\leqq x\leqq3と共通している部分は
数直線よりx<\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}<xとなります。

 以上よりこの不等式の解はx<\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}<xであるとわかります。

(2)|2x^2-5x-3|\leqq x

\begin{align*}2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)<0\\ すなわち-\frac{1}{2}<x<3のとき\\ |2x^2-5x-3|&=-(2x^2-5x-3)=-2x^2+5x+3\\ \\ (2x+1)(x-3)\geqq0\\ すなわちx\leqq-\frac{1}{2},3\leqq xのとき\\ |2x^2-5x-3|&=2x^2-5x-3\end{align*}
となるので、この条件で場合分けします。

-\tfrac{1}{2}<x<3のとき

\begin{align*}-2x^2+5x+3&\leqq x\\ \\ 2x^2-4x-3&\geqq0\end{align*}
ここで、2x^2-4x-3=0の解は
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-2\cdot(-3)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}
であるので、
x\leqq\frac{2-\sqrt{10}}{2},\frac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x
となります。
3<\sqrt{10}<4より
\begin{align*}-1<&\frac{2-\sqrt{10}}{2}<-\frac{1}{2}\\ \\ \frac{5}{2}<&\frac{2+\sqrt{10}}{2}<3\end{align*}
であるので、条件x<-\dfrac{1}{2},3<xと共通している部分は
数直線より\frac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x<3となります。

x\leqq-\frac{1}{2},3\leqq xのとき

\begin{align*}2x^2-5x-3&\leqq x\\ \\ 2x^2-6x-3&\leqq0\end{align*}
ここで、2x^2-6x-3=0の解は
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-2\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}
であるので、
\frac{3-\sqrt{15}}{2}\leqq x\leqq\frac{3+\sqrt{15}}{2}
となります。
3<\sqrt{15}<4より
\begin{align*}-\frac{1}{2}<&\frac{3-\sqrt{15}}{2}<0\\ \\ 3<&\frac{3+\sqrt{15}}{2}<\frac{7}{2}\end{align*}
であるので、条件x\leqq-\dfrac{1}{2},3\leqq xと共通している部分は
数直線より3\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}となります。

 以上より、\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x<3または3\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}であるので、\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}とすることができ、これが不等式の解となります。

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