絶対値を含む2次不等式を解く

「次の不等式を解け。

(1)$\large |x^2-5x+6|>3$

(2)$\large |2x^2-5x-3|\leqq x$」

 　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

(1)$|x^2-5x+6|>3$

　解く手順は絶対値を含む1次不等式と同じように場合分けをして解きます。

関連：絶対値を含む1次不等式を解く(2)

\begin{align*}x^2-5x+6=(x-2)(x-3)<0\\ すなわち2<x<3&のとき\\ |x^2-5x+6|&=-(x^2-5x+6)=-x^2+5x-6\\ \\ (x-2)(x-3)\geqq0\\ すなわちx\leqq2,3\leqq x&のとき\\ |x^2-5x+6|&=x^2-5x+6\end{align*}

となるので、この条件で場合分けします。

$2<x<3$のとき

\begin{align*}-x^2+5x-6&>3\\ \\ x^2-5x+9&<0\end{align*}

ここで、$x^2-5x+9$に判別式をもちいると

\[D=(-5)^2-4\cdot9=-11<0\]

となり、実数解を持たないため解なしとなります。

$x\leqq2,3\leqq x$のとき

\begin{align*}x^2-5x+6&>3\\ \\ x^2-5x+3&>0\end{align*}

ここで、$x^2-5x+3=0$の解は

\[x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot3}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}\]

であるので、

\[x<\frac{5-\sqrt{13}}{2},\frac{5+\sqrt{13}}{2}<x\]

となります。

$3<\sqrt{13}<4$より

\begin{align*}\frac{1}{2}<&\frac{5-\sqrt{13}}{2}<1\\ \\ 4<&\frac{5+\sqrt{13}}{2}<\frac{9}{2}\end{align*}

であるから、条件$2\leqq x\leqq3$と共通している部分は

数直線より$x<\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}<x$となります。

　以上よりこの不等式の解は$x<\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}<x$であるとわかります。

(2)$|2x^2-5x-3|\leqq x$

\begin{align*}2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)<0\\ すなわち-\frac{1}{2}<x<3のとき\\ |2x^2-5x-3|&=-(2x^2-5x-3)=-2x^2+5x+3\\ \\ (2x+1)(x-3)\geqq0\\ すなわちx\leqq-\frac{1}{2},3\leqq xのとき\\ |2x^2-5x-3|&=2x^2-5x-3\end{align*}

となるので、この条件で場合分けします。

$-\tfrac{1}{2}<x<3$のとき

\begin{align*}-2x^2+5x+3&\leqq x\\ \\ 2x^2-4x-3&\geqq0\end{align*}

ここで、$2x^2-4x-3=0$の解は

\[x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-2\cdot(-3)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}\]

であるので、

\[x\leqq\frac{2-\sqrt{10}}{2},\frac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x\]

となります。

$3<\sqrt{10}<4$より

\begin{align*}-1<&\frac{2-\sqrt{10}}{2}<-\frac{1}{2}\\ \\ \frac{5}{2}<&\frac{2+\sqrt{10}}{2}<3\end{align*}

であるので、条件$x<-\dfrac{1}{2},3<x$と共通している部分は

数直線より$\frac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x<3$となります。

$x\leqq-\frac{1}{2},3\leqq x$のとき

\begin{align*}2x^2-5x-3&\leqq x\\ \\ 2x^2-6x-3&\leqq0\end{align*}

ここで、$2x^2-6x-3=0$の解は

\[x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-2\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}\]

であるので、

\[\frac{3-\sqrt{15}}{2}\leqq x\leqq\frac{3+\sqrt{15}}{2}\]

となります。

$3<\sqrt{15}<4$より

\begin{align*}-\frac{1}{2}<&\frac{3-\sqrt{15}}{2}<0\\ \\ 3<&\frac{3+\sqrt{15}}{2}<\frac{7}{2}\end{align*}

であるので、条件$x\leqq-\dfrac{1}{2},3\leqq x$と共通している部分は

数直線より$3\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}$となります。

　以上より、$\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x<3$または$3\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}$であるので、$\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\leqq x\leqq\dfrac{3+\sqrt{15}}{2}$とすることができ、これが不等式の解となります。

関連：絶対値を含む1次不等式を解く(2)