2点を通る円の作図

「線分$AB,AC$がある。ここに次の条件を満たす円$O$を作図せよ。

条件1：円$O$は点$C$と線分$AB$を$2:1$に内分する点$P$を通る。
条件2：円$O$は直線$AC$を接線とする。」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　まずは$AB$の内分点$P$を作図します。

1.

線分$AB$の垂直二等分線を作図し、中点$D$をとります。

2.

線分$AC$の垂直二等分線を作図し、中点$E$をとります。

3.

線分$BE$と$CD$を引き、その交点を$F$とします。

これは三角形$ABC$の重心です。

4.

点$F$を通り、$BC$に平行な線を引き、$AB$との交点が内分点$P$となります。

点$F$が重心なので、直線$AF$は線分$BC$の中点$M$を通ります。

$BC//PF$なので同位角が等しいことから$△ABM$と$△APF$が相似であることがわかります。その相似比は重心の性質より$AF:FM=2:1$であり$AM:AF=3:2$であることから、$AB:AP=3:2$そして$AP:PB=2:1$であることを確かめることができます。

　次は中心$O$を見つけます。

5.

線分$CP$の垂直二等分線を作図します。

これは、円周上の異なる2点を結ぶ線分（弦）の垂直二等分線上に必ず円の中心が存在するためです。

関連：円の弦の垂直二等分線と中心

6.

点$C$を通る線分$AC$に対する垂線を引き、5.の垂直二等分線との交点が円$O$の中心となります。

これは、接線は接点を通る半径に対し必ず垂直になるためです。

直線$AC$が円$O$の接線であり、円$O$が点$C$を通るならば点$C$は接点であることがわかります。

7.

点$O$を中心とする半径$OP$の円を描くと上図のようになります。