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2022年7月29日

元利均等返済方式の返済額の計算式

  元利均等返済方式とは、常に一定額を返済していく方式のことです。
返済額の計算方法は年々返済する場合
\begin{align*}P_b&=\frac{P_rA(1+A)^n}{(1+A)^n-1}\\ &(P_b:返済額,P_r:借入元金,A:年率,n:返済期間)\end{align*}


となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか?

 借入金を返済するのは借入をしてから1年後、すなわち借入元金に利息が発生してからとすると、1回目の返済後の残高は
P_r(1+A)-P_b


となります。
2回目の返済後の残高は2回目の利息計算後なので
\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b

3回目の返済後の残高は
[\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b](1+A)-P_b

というように入れ子のようになっていきます。

n回目の返済で残高が0になるとすると
(\cdots[\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b](1+A)-P_b\cdots)(1+A)-P_b=0


と書くことができます。
これを展開すると
\begin{align*}P_r(1+A)^n-P_b\left\{(1+A)^{n-1}+(1+A)^{n-2}+\cdots+(1+A)+1\right\}=0\end{align*}

となります。

ここで、(1+A)^{n-1}+(1+A)^{n-2}+\cdots+(1+A)+1は初項1、公比1+A、項数nの等比数列の和なので、
\frac{(1+A)^n-1}{(1+A)-1}=\frac{(1+A)^n-1}{A}


とすることができ、
\begin{equation}P_r(1+A)^n-P_b\cdot\frac{(1+A)^n-1}{A}=0\end{equation}

となります。

(1)をP_bについて解けば
\begin{align*}P_b\cdot\frac{(1+A)^n-1}{A}&=P_r(1+A)^n\\ \\ P_b&=\frac{P_rA(1+A)^n}{(1+A)^n-1}\end{align*}
となり、返済額を求めることができます。

 k回目(1\leqq k<n)の返済後の残高をB_kとするとk+1回目の返済後の残高B_{k+1}
\begin{equation}B_{k+1}=B_k(1+A)-P_b\end{equation}


となるから、これを変形すると
B_{k+1}=B_k-(P_b-B_kA)

となります。
B_kAk+1回目に発生する利息だから、P_b-B_kAは返済額から利息分を差し引いた元金の返済分であることがわかります。

 したがって、元利均等返済方式の返済額の内訳の求め方は以下のようになります。
(2)の漸化式よりk回目の返済後の残高は
B_k=\frac{P_b}{A}-\left(\frac{P_b}{A}-P_r\right)(1+A)^k
となるから、k回目の返済額の利息部分は
\begin{align*}I_k&=B_{k-1}A\\ \\ &=P_b-(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}&\cdots(3)\\ &(I:返済額の利息部分)\end{align*}
k回目の返済額の元金部分は
P_b-I_k=(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}\quad\cdots(4)
となります。

 返済総額の利息部分の合計は(3)より
\begin{align*}\sum_{k=1}^nI_k&=\sum_{k=1}^n\left\{P_b-(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}\right\}\\ \\ &=nP_b-\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\end{align*}
返済総額の元金部分の合計は(4)より
\begin{align*}\sum_{k=1}^n(P_b-I_k)&=nP_b-\sum_{k=1}^nI_k\\ \\ &=nP_b-\left[nP_b-\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\right]\\ \\ &=\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\end{align*}
返済総額はnP_bとなります。

関連:元金均等返済方式の返済額の計算式

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