元利均等返済方式の返済額の計算式

 　元利均等返済方式とは、常に一定額を返済していく方式のことです。
返済額の計算方法は年々返済する場合
$$\begin{align*}P_b&=\frac{P_rA(1+A)^n}{(1+A)^n-1}\\ &(P_b:返済額,P_r:借入元金,A:年率,n:返済期間)\end{align*}$$
となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？

　借入金を返済するのは借入をしてから1年後、すなわち借入元金に利息が発生してからとすると、1回目の返済後の残高は
$$P_r(1+A)-P_b$$
となります。
2回目の返済後の残高は2回目の利息計算後なので
$$\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b$$
3回目の返済後の残高は
$$[\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b](1+A)-P_b$$
というように入れ子のようになっていきます。

$n$回目の返済で残高が$0$になるとすると
$$(\cdots[\{P_r(1+A)-P_b\}(1+A)-P_b](1+A)-P_b\cdots)(1+A)-P_b=0$$
と書くことができます。
これを展開すると
$$\begin{align*}P_r(1+A)^n-P_b\left\{(1+A)^{n-1}+(1+A)^{n-2}+\cdots+(1+A)+1\right\}=0\end{align*}$$
となります。

ここで、$(1+A)^{n-1}+(1+A)^{n-2}+\cdots+(1+A)+1$は初項$1$、公比$1+A$、項数$n$の等比数列の和なので、
$$\frac{(1+A)^n-1}{(1+A)-1}=\frac{(1+A)^n-1}{A}$$
とすることができ、
$$\begin{equation}P_r(1+A)^n-P_b\cdot\frac{(1+A)^n-1}{A}=0\end{equation}$$
となります。

(1)を$P_b$について解けば

$$\begin{align*}P_b\cdot\frac{(1+A)^n-1}{A}&=P_r(1+A)^n\\ \\ P_b&=\frac{P_rA(1+A)^n}{(1+A)^n-1}\end{align*}$$

となり、返済額を求めることができます。

　$k$回目（$1\leqq k<n$）の返済後の残高を$B_k$とすると$k+1$回目の返済後の残高$B_{k+1}$は
$$\begin{equation}B_{k+1}=B_k(1+A)-P_b\end{equation}$$
となるから、これを変形すると
$$B_{k+1}=B_k-(P_b-B_kA)$$
となります。
$B_kA$は$k+1$回目に発生する利息だから、$P_b-B_kA$は返済額から利息分を差し引いた元金の返済分であることがわかります。

　したがって、元利均等返済方式の返済額の内訳の求め方は以下のようになります。

(2)の漸化式より$k$回目の返済後の残高は

$$B_k=\frac{P_b}{A}-\left(\frac{P_b}{A}-P_r\right)(1+A)^k$$

となるから、$k$回目の返済額の利息部分は

$$\begin{align*}I_k&=B_{k-1}A\\ \\ &=P_b-(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}&\cdots(3)\\ &(I:返済額の利息部分)\end{align*}$$

$k$回目の返済額の元金部分は

$$P_b-I_k=(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}\quad\cdots(4)$$

となります。

　返済総額の利息部分の合計は(3)より

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^nI_k&=\sum_{k=1}^n\left\{P_b-(P_b-P_rA)(1+A)^{k-1}\right\}\\ \\ &=nP_b-\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\end{align*}$$

返済総額の元金部分の合計は(4)より

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^n(P_b-I_k)&=nP_b-\sum_{k=1}^nI_k\\ \\ &=nP_b-\left[nP_b-\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\right]\\ \\ &=\frac{(P_b-P_rA)\left\{(1+A)^n-1\right\}}{A}\end{align*}$$

返済総額は$nP_b$となります。

関連：元金均等返済方式の返済額の計算式