\text{月形BC}+\text{月形AC}=△\text{ABC}
が成り立つという定理です。
なぜこの関係が成り立つのでしょうか？
この面積の関係を導くために各図形の面積について調べてみます。
半円\text{AB}に着目します。
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半円\text{AB}の面積は\text{AB}を直径とするから
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\text{半円AB}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\text{AB}}{2}\right)^2\pi=\frac{\text{AB}^2}{8}\pi
となります。
ちなみに、半円\text{AB}は直角三角形\text{ABC}の斜辺\text{AB}を直径としているので、タレスの定理の逆より頂点\text{C}は半円\text{AB}の弧上にあることがわかります。
次に半円\text{BC, AC}に着目します。
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半円\text{AB}と同様に半円\text{BC}の面積は\text{BC}を直径とするから
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\text{半円BC}=\frac{\text{BC}^2}{8}\pi
半円\text{AC}の面積は\text{AC}を直径とするから
\text{半円AC}=\frac{\text{AC}^2}{8}\pi
となります。
ここで、三平方の定理より
\text{AB}^2=\text{BC}^2+\text{AC}^2
であり、両辺に\dfrac{\pi}{8}を掛けると
\begin{align*}\frac{\text{AB}^2}{8}\pi&=\frac{(\text{BC}^2+\text{AC}^2)}{8}\pi\\[0.5em]\frac{\text{AB}^2}{8}\pi&=\frac{\text{BC}^2}{8}\pi+\frac{\text{AC}^2}{8}\pi\end{align*}
したがって、
\text{半円AB}=\text{半円BC}+\text{半円AC}
が成り立つことがわかります。
このことから、直角三角形\text{ABC}と半円\text{BC}、半円\text{AC}の面積の和は
△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC}=△\text{ABC}+\text{半円AB}
となり、月形\text{BC}と月形\text{AC}の面積の和は
(△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC})-\text{半円AB}
で求められるので
\begin{align*}\text{月形BC}+\text{月形AC}&=(△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC})-\text{半円AB}\\[0.5em]&=(△\text{ABC}+\text{半円AB})-\text{半円AB}\\[0.5em]&=△\text{ABC}\end{align*}
となり、ヒポクラテスの定理が成り立つことがわかります。
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