\[月形BC+月形AC=△ABC\]
が成り立つという定理です。
なぜこの関係が成り立つのでしょうか？
この面積の関係を導くために各図形の面積について調べてみます。
半円$AB$に着目します。
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半円$AB$の面積は$AB$を直径とするから
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\[半円AB=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{AB}{2}\right)^2\pi=\frac{AB^2}{8}\pi\]
となります。
ちなみに、半円$AB$は直角三角形$ABC$の斜辺$AB$を直径としているので、タレスの定理の逆より頂点$C$は半円$AB$の弧上にあることがわかります。
次に半円$BC,AC$に着目します。
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半円$AB$と同様に半円$BC$の面積は$BC$を直径とするから
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\[半円BC=\frac{BC^2}{8}\pi\]
半円$AC$の面積は$AC$を直径とするから
\[半円AC=\frac{AC^2}{8}\pi\]
となります。
ここで、三平方の定理より
\[AB^2=BC^2+AC^2\]
であり、両辺に$\dfrac{\pi}{8}$を掛けると
\begin{align*}\frac{AB^2}{8}\pi&=\frac{(BC^2+AC^2)}{8}\pi\\[0.5em]\frac{AB^2}{8}\pi&=\frac{BC^2}{8}\pi+\frac{AC^2}{8}\pi\end{align*}
したがって、
\[半円AB=半円BC+半円AC\]
が成り立つことがわかります。
このことから、直角三角形$ABC$と半円$BC$、半円$AC$の面積の和は
\[△ABC+半円BC+半円AC=△ABC+半円AB\]
となり、月形$BC$と月形$AC$の面積の和は
\[(△ABC+半円BC+半円AC)-半円AB\]
で求められるので
\begin{align*}月形BC+月形AC&=(△ABC+半円BC+半円AC)-半円AB\\[0.5em]&=(△ABC+半円AB)-半円AB\\[0.5em]&=△ABC\end{align*}
となり、ヒポクラテスの定理が成り立つことがわかります。
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