ヒポクラテスの定理

　ヒポクラテスの定理とは、上図のように直角三角形$\text{ABC}$の各辺を直径とする半円を描くと、この図形の面積について

$$\text{月形BC}+\text{月形AC}=△\text{ABC}$$

が成り立つという定理です。

なぜこの関係が成り立つのでしょうか？

　この面積の関係を導くために各図形の面積について調べてみます。

　半円$\text{AB}$に着目します。

半円$\text{AB}$の面積は$\text{AB}$を直径とするから

$$\text{半円AB}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\text{AB}}{2}\right)^2\pi=\frac{\text{AB}^2}{8}\pi$$

となります。

ちなみに、半円$\text{AB}$は直角三角形$\text{ABC}$の斜辺$\text{AB}$を直径としているので、タレスの定理の逆より頂点$\text{C}$は半円$\text{AB}$の弧上にあることがわかります。

関連：タレスの定理とその逆

　次に半円$\text{BC, AC}$に着目します。

半円$\text{AB}$と同様に半円$\text{BC}$の面積は$\text{BC}$を直径とするから

$$\text{半円BC}=\frac{\text{BC}^2}{8}\pi$$

半円$\text{AC}$の面積は$\text{AC}$を直径とするから

$$\text{半円AC}=\frac{\text{AC}^2}{8}\pi$$

となります。

ここで、三平方の定理より

$$\text{AB}^2=\text{BC}^2+\text{AC}^2$$

であり、両辺に$\dfrac{\pi}{8}$を掛けると

$$\begin{align*}\frac{\text{AB}^2}{8}\pi&=\frac{(\text{BC}^2+\text{AC}^2)}{8}\pi\\[0.5em]\frac{\text{AB}^2}{8}\pi&=\frac{\text{BC}^2}{8}\pi+\frac{\text{AC}^2}{8}\pi\end{align*}$$

したがって、

$$\text{半円AB}=\text{半円BC}+\text{半円AC}$$

が成り立つことがわかります。

このことから、直角三角形$\text{ABC}$と半円$\text{BC}$、半円$\text{AC}$の面積の和は

$$△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC}=△\text{ABC}+\text{半円AB}$$

となり、月形$\text{BC}$と月形$\text{AC}$の面積の和は

$$(△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC})-\text{半円AB}$$

で求められるので

$$\begin{align*}\text{月形BC}+\text{月形AC}&=(△\text{ABC}+\text{半円BC}+\text{半円AC})-\text{半円AB}\\[0.5em]&=(△\text{ABC}+\text{半円AB})-\text{半円AB}\\[0.5em]&=△\text{ABC}\end{align*}$$

となり、ヒポクラテスの定理が成り立つことがわかります。

関連：円周角の定理　なぜ成り立つのか？

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

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