ヒポクラテスの定理とは、上図のように直角三角形$ABC$の各辺を直径とする半円を描くと、この図形の面積について
\[月形BC+月形AC=△ABC\]
が成り立つという定理です。
なぜこの関係が成り立つのでしょうか？
この面積の関係を導くために各図形の面積について調べてみます。
半円$AB$に着目します。
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\[半円AB=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{AB}{2}\right)^2\pi=\frac{AB^2}{8}\pi\]
となります。
ちなみに、半円$AB$は直角三角形$ABC$の斜辺$AB$を直径としているので、タレスの定理の逆より頂点$C$は半円$AB$の弧上にあることがわかります。
次に半円$BC,AC$に着目します。
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\[半円BC=\frac{BC^2}{8}\pi\]
半円$AC$の面積は$AC$を直径とするから
\[半円AC=\frac{AC^2}{8}\pi\]
となります。
ここで、三平方の定理より
\[AB^2=BC^2+AC^2\]
なので、
\[AB^2=BC^2+AC^2\]
なので、
\[半円BC+半円AC=\frac{BC^2+AC^2}{8}\pi=\frac{AB^2}{8}\pi=半円AB\]
が成り立つことがわかります。
したがって、直角三角形$ABC$と半円$BC$、半円$AC$の面積の和は
\[△ABC+半円BC+半円AC=△ABC+半円AB\]
となります。
月形$BC$と月形$AC$の面積は
\[(△ABC+半円BC+半円AC)-半円AB\]
で求められるので
\begin{align*}月形BC+月形AC&=(△ABC+半円BC+半円AC)-半円AB\\ \\
&=(△ABC+半円AB)-半円AB\\ \\ &=△ABC\end{align*}
となり、ヒポクラテスの定理が成り立つことを確かめることができました。
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