合成ベクトルの内積

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$$

となることを確かめてみます。

　$\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$とすると

$$\begin{align*}\vec{a}+\vec{b}&=(a_1,a_2)+(b_1,b_2)\\[0.5em]&=(a_1+b_1,a_2+b_2)\end{align*}$$

ベクトルの内積の性質より

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$$

だから、成分から内積を求める公式

$$\begin{align*}\vec{p}=(p_1,p_2),&\vec{q}=(q_1,q_2)のとき\\ \vec{p}\cdot\vec{q}&=p_1q_1+p_2q_2\end{align*}$$

をもちいると

$$\begin{align*}|\vec{a}+\vec{b}|^2&=(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2\\[0.5em]&=\left({a_1}^2+2a_1b_1+{b_1}^2\right)+\left({a_2}^2+2a_2b_2+{b_2}^2\right)\\[0.5em]&=\left({a_1}^2+{a_2}^2\right)+2\left(a_1b_1+a_2b_2\right)+\left({b_1}^2+{b_2}^2\right)\\[0.5em]&=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\end{align*}$$

　また、$\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2),\vec{c}=(c_1,c_2),\vec{d}=(d_1,d_2)$の4ベクトルをもちいて$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c}+\vec{d})$がどうなるかを調べてみると

$$\begin{align*}\vec{a}+\vec{b}&=(a_1+b_1,a_2+b_2)\\[1em]\vec{c}+\vec{d}&=(c_1+d_1,c_2+d_2)\end{align*}$$

であるから

$$\begin{align*}&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c}+\vec{d})\\[0.5em]=&(a_1+b_1)(c_1+d_1)+(a_2+b_2)(c_2+d_2)\\[0.5em]=&(a_1c_1+a_1d_1+b_1c_1+b_1d_1)\\ &\qquad+(a_2c_2+a_2d_2+b_2c_2+b_2d_2)\\[0.5em]=&(a_1c_1+a_2c_2)+(a_1d_1+a_2d_2)\\ &\qquad+(b_1c_1+b_2c_2)+(b_1d_1+b_2d_2)\\[0.5em]=&\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d}\end{align*}$$

このように2つの二項式の積

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

に似た式で表すことができます。

　改めて

$$\begin{equation}|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\end{equation}$$

について見ると、ベクトルの内積の定義より同じベクトル同士の内積はなす角が$0$であるから

$$\begin{align*}\vec{p}\cdot\vec{p}&=|\vec{p}||\vec{p}|\cos0\\[0.5em]&=|\vec{p}|^2&(\because\cos0=1)\end{align*}$$

となり、$(1)$は

$$\begin{align*}(\vec{a}+\vec{b})&\cdot(\vec{a}+\vec{b})\\[0.5em]&=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}\end{align*}$$

と書け、二項式の2乗

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

に似た式となります。