元金均等返済方式の返済額の計算式

　元金均等返済方式とは、返済額のうち元金部分を常に一定額にして返済する方式のことです。利息部分は返済時の残高により変動します。

年々返済する場合、返済額のうち元金部分は借入元金を返済回数で分割するので

$$\begin{align*}P_P&=\frac{Pr}{n}\\ &(P_P:返済額の元金部分,P_r:借入元金,n:返済期間)\end{align*}$$

となります。

では、返済額はどのように計算されるのでしょうか？

　1回目の返済時、元金部分と借入元金に発生した利息を合計して支払うので、1回目返済後の残高は
$$P_r(1+A)-(P_P+P_rA)=P_r-P_P\quad(A:年率)$$
となります。$P_P+P_rA$が元金部分と利息部分を合算した返済額となります。
2回目の返済時は元金部分と1回目返済後の残高に発生した利息を合計して支払うので、2回目返済後の残高は
$$\begin{align*}(P_r-P_P)(1+A)-\{P_P+(P_r-P_P)A\}&=(P_r-P_P)-P_P\\ \\ &=P_r-2P_P\end{align*}$$
3回目返済後の残高は同様に考えれば
$$(P_r-2P_P)-P_P=P_r-3P_P$$
となります。
そして、返済額のうち利息部分は$k$回目（$1\leqq k\leqq n$）の返済時
$$\begin{equation}I_k=\{P_r-(k-1)P_P\}A\quad(I:返済額の利息部分)\end{equation}$$
となります。

以上のことから$k$回目の返済額は

$$\begin{align*}P_{bk}&=P_P+I_k&(P_b:返済額)\\ \\ &=\frac{P_r}{n}+\{P_r-(k-1)P_P\}A\\ \\ &=\frac{P_r}{n}+\left\{P_r-(k-1)\frac{P_r}{n}\right\}A\\ \\ &=\frac{P_r}{n}+P_r\left\{1-\frac{k-1}{n}\right\}A\\ \\ &=\frac{P_r}{n}+\frac{P_r(n-k+1)A}{n}\\ \\ &=\frac{P_r\{1+(n-k+1)A\}}{n}\end{align*}$$

で求めることができます。

　返済総額のうち利息部分の合計は(1)と$nP_P=P_r$より

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^nI_k&=\sum_{k=1}^n\{P_r-(k-1)P_P\}A\\ \\ &=nP_rA-\sum_{k=1}^n(k-1)P_PA\\ \\ &=nP_rA-\frac{1}{2}n(n-1)P_PA\\ \\ &=nP_rA-\frac{1}{2}(n-1)P_rA\\ \\ &=P_rA\left\{n-\frac{(n-1)}{2}\right\}\\ \\ &=\frac{P_rA(n+1)}{2}\end{align*}$$

となります。

返済総額のうち元金部分の合計は$P_r$となるから返済総額は

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^nP_{bk}&=P_r+\sum_{k=1}^nI_k\\ \\ &=P_r+\frac{P_rA(n+1)}{2}\\ \\ &=\frac{P_r\{2+(n+1)A\}}{2}\end{align*}$$

で求めることができます。

関連：元利均等返済方式の返済額の計算式