関数$y=f(x)$のグラフの対称移動は以下のようになります。
\begin{array}{l}\large\textbf{関数$y=f(x)$を}\\
\textbf{x軸に関して対称移動}&\large
y=\textcolor{red}{-f(x)}\\[1em]\hline\textbf{y軸に関して対称移動}&\large
y=f(\textcolor{red}{-x})\\[1em]\hline\textbf{原点に関して対称移動}&\large
y=\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{-x})}\\[1em]\hline\textbf{直線$x=a$に関して対称移動}&\large
y=f(\textcolor{red}{2a-x})\\[1em]\hline\textbf{直線$y=b$に関して対称移動}&\large
y=\textcolor{blue}{2b}\textcolor{red}{-f(x)}\\[1em]\hline\textbf{点$(a,b)$に関して対称移動}&\large
y=\textcolor{green}{2b}\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{2a-x})}\\
\hline\textbf{直線$y=x$に関して対称移動}&\large
\textcolor{red}{x=f(y)}\end{array}
なぜこのように表すことができるのかをグラフ上の点に着目して考えます。
x軸に関して対称移動
各点がx軸に関して対称移動すると座標は$\bigl(t,-f(t)\bigr)$となり、このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large y=\textcolor{red}{-f(x)}\]
となります。
また、点のx軸に関して対称移動とは、x軸を中心として座標平面を裏返したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフもx軸に関して対称移動するとx軸を中心として裏返したような形になります。
y軸に関して対称移動
ここで、$-t=u$とおくと$\Bigl(-t,f\bigl(-(-t)\bigr)\Bigr)=\bigl(u,f(-u)\bigr)$と書けます。
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動した後のグラフの方程式は
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large y=f(\textcolor{red}{-x})\]
となります。
また、点のy軸に関して対称移動とは、y軸を中心として座標平面を裏返したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフもy軸に関して対称移動するとy軸を中心として裏返したような形になります。
y軸に関して対称移動しても元のグラフと変わらない関数のことを偶関数といいます。
原点に関して対称移動
ここで、$-t=u$とおくと対称移動後の点は$\Bigl(-t,-f\bigl(-(-t)\bigr)\Bigr)=\bigl(u,-f(-u)\bigr)$と書けます。
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの方程式は
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large y=\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{-x})}\]
となります。
また、点の原点に関して対称移動とは、原点を中心として座標平面を180°回転したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフも原点に関して対称移動すると原点を中心として180°回転したような形になります。
原点に関して対称移動しても元のグラフと変わらない関数のことを奇関数といいます。
$x=a$に関して対称移動
ここで、$2a-t=u$とおくと対称移動後の点は$\Bigl(2a-t,f\bigl(2a-(2a-t)\bigr)\Bigr)=\bigl(u,f(2a-u)\bigr)$と書けます。
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$x=a$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$x=a$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large y=f(\textcolor{red}{2a-x})\]
となります。
また、点の直線$x=a$に関して対称移動とは、直線$x=a$を中心として座標平面を裏返したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフも直線$x=a$に関して対称移動すると直線$x=a$を中心として裏返したような形になります。
$y=b$に関して対称移動
関数$y=f(x)$のグラフ上の任意の点$\bigl(t,f(t)\bigr)$が直線$y=b$に関して対称移動すると$\bigl(t,2b-f(t)\bigr)$となります。
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$y=b$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$y=b$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large y=\textcolor{blue}{2b}\textcolor{red}{-f(x)}\]
となります。
また、点の直線$y=b$に関して対称移動とは、直線$y=b$を中心として座標平面を裏返したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフも直線$y=b$に関して対称移動すると直線$y=b$を中心として裏返したような形になります。
点$(a,b)$に関して対称移動
ここで、$2a-t=u$とおくと対称移動後の点は$\Bigl(2a-t,2b-f\bigl(2a-(2a-t)\bigr)\Bigr)=\bigl(u,2b-f(2a-u)\bigr)$と書けます。
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを点$(a,b)$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを点$(a,b)$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large
y=\textcolor{green}{2b}\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{2a-x})}\]
となります。
また、点の点$(a,b)$に関して対称移動とは、点$(a,b)$を中心として座標平面を180°回転したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフも点$(a,b)$に関して対称移動すると点$(a,b)$を中心として180°回転したような形になります。
$y=x$に関して対称移動
関数$y=f(x)$のグラフ上の任意の点$\bigl(t,f(t)\bigr)$が直線$y=x$に関して対称移動すると$\bigl(f(t),t\bigr)$となります。
この座標は$x$の値が$y$の値によって決まっている、すなわち$x$は$y$の関数となっているとみることができるので、このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
この座標は$x$の値が$y$の値によって決まっている、すなわち$x$は$y$の関数となっているとみることができるので、このように表せる点の集合の方程式、すなわち関数$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動した後のグラフの方程式は
\[\large \textcolor{red}{x=f(y)}\]
となります。
また、点の直線$y=x$に関して対称移動とは、直線$y=x$を中心として座標平面を裏返したような位置に移動するということなので、点の集合であるグラフも直線$y=x$に関して対称移動すると直線$y=x$を中心として裏返したような形になります。
(2024/12)内容を変更しました。
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