関数のグラフの対称移動

　関数$y=f(x)$のグラフを対称移動すると移動後のグラフの方程式は以下のようになります。

関数$y=f(x)$を〇〇に関して
対称移動すると…

〇〇	対称移動後のグラフの方程式
x軸	$y=\textcolor{red}{-f(x)}$
y軸	$y=f(\textcolor{red}{-x})$
原点	$y=\textcolor{red}{-f(\textcolor{blue}{-x})}$
直線$x=p$	$y=f(\textcolor{red}{2p}\textcolor{blue}{-x})$
直線$y=q$	$y=\textcolor{red}{2q}\textcolor{blue}{-f(x)}$
点$(p, q)$	$y=\textcolor{red}{2q}\textcolor{blue}{-f(\textcolor{red}{2p}\textcolor{blue}{-x})}$
直線$y=x$	$\textcolor{red}{x=f(y)}$ ※$y$の関数にできない場合あり

なぜこのように表すことができるのかを新しい座標を定義することで導いてみます。

x軸に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$をx軸に関して対称移動した点は$(a, -b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=x\\[0.5em]Y=-y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においてはx軸に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(1)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(1)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(1)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large -y=f(x)\]

あるいは、両辺に$-1$を掛けた

\[\large y=-f(x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動することは、方程式上では$y$を$-y$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=-f(x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これをx軸に関して対称移動した先は点$\bigl(k, -f(k)\bigr)$です。

対して、$y=-f(x)$の$x=k$における点の座標を調べてみると$\bigl(k, -f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動したものは確かに$y=-f(x)$と表せることがわかります。

y軸に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$をy軸に関して対称移動した点は$(-a, b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=-x\\[0.5em]Y=y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においてはy軸に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(2)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(2)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(2)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large y=f(-x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動することは、方程式上では$x$を$-x$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=f(-x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これをy軸に関して対称移動した先は点$\bigl(-k, f(k)\bigr)$です。

対して、$y=f(-x)$の$x=-k$における点の座標を調べてみると$\bigl(-k, f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動したものは確かに$y=f(-x)$と表せることがわかります。

原点に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$を原点に関して対称移動した点は$(-a, -b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=-x\\[0.5em]Y=-y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては原点に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(3)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(3)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(3)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large -y=f(-x)\]

あるいは、両辺に$-1$を掛けた

\[\large y=-f(-x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動することは、方程式上では$x$を$-x$に、$y$を$-y$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=-f(-x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを原点に関して対称移動した先は点$\bigl(-k, -f(k)\bigr)$です。

対して、$y=-f(-x)$の$x=-k$における点の座標を調べてみると$\bigl(-k, -f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動したものは確かに$y=-f(-x)$と表せることがわかります。

　ちなみに、$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した$-y=f(-x)$は、
x軸に関して対称移動の$y$を$-y$に置き換える操作

\[y=f(x)\ \longrightarrow\ -y=f(x)\]

と、y軸に関して対称移動の$x$を$-x$に置き換える操作

\[-y=f(x)\ \longrightarrow\ -y=f(-x)\]

の結果得られる形であることがわかります。これはy軸に関して対称移動を先に行っても同様の形を得ます。

したがって、原点に関して対称移動することは、x軸に関して対称移動とy軸に関して対称移動の2つの移動の合成であると考えることができます。

また、原点に関して対称移動することは、原点を中心に$180°$回転移動することに等しく、回転移動によっても同様に導くことができます。

直線$x=p$に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$を直線$x=p$に関して対称移動した点は$(2p-a, b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=2p-x\\[0.5em]Y=y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては直線$x=p$に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(4)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを直線$x=p$に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(4)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(4)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$x=p$に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large y=f(2p-x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを直線$x=p$に関して対称移動することは、方程式上では$x$を$2p-x$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=f(2p-x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを直線$x=p$に関して対称移動した先は点$\bigl(2p-k, f(k)\bigr)$です。

対して、$y=f(2p-x)$の$x=2p-k$における点の座標を調べてみると$\bigl(2p-k, f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$x=p$に関して対称移動したものは確かに$y=f(2p-x)$と表せることがわかります。

　ちなみに、$y=f(x)$のグラフを直線$x=p$に関して対称移動した$y=f(2p-x)$は

\[y=f\bigl(-(x-2p)\bigr)\]

というように変形できます。

これは、y軸に関して対称移動の$x$を$-x$に置き換える操作

\[y=f(x)\ \longrightarrow\ y=f(-x)\]

と、x軸方向に$2p$だけ平行移動の$x$を$x-2p$に置き換える操作

\[y=f(-x)\ \longrightarrow\ y=f\bigl(-(x-2p)\bigr)\]

の結果得られる形であることがわかります。

したがって、直線$x=p$に関して対称移動することは、y軸に関して対称移動し、その後x軸方向に$2p$だけ平行移動するという2つの移動の合成であると考えることができます。

直線$y=q$に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$を直線$y=q$に関して対称移動した点は$(a, 2q-b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=x\\[0.5em]Y=2q-y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては直線$y=q$に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(5)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを直線$y=q$に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(5)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(5)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$y=q$に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large 2q-y=f(x)\]

あるいは、変形した

\[\large y=2q-f(x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを直線$y=q$に関して対称移動することは、方程式上では$y$を$2q-y$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=2q-f(x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを直線$y=q$に関して対称移動した先は点$\bigl(k, 2q-f(k)\bigr)$です。

対して、$y=2q-f(x)$の$x=k$における点の座標を調べてみると$\bigl(k, 2q-f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$y=q$に関して対称移動したものは確かに$y=2q-f(x)$と表せることがわかります。

　ちなみに、$y=f(x)$のグラフを直線$y=q$に関して対称移動した$2q-y=f(x)$は

\[-(y-2q)=f(x)\]

というように変形できます。

これは、x軸に関して対称移動の$y$を$-y$に置き換える操作

\[y=f(x)\ \longrightarrow\ -y=f(x)\]

と、y軸方向に$2q$だけ平行移動の$y$を$y-2q$に置き換える操作

\[-y=f(x)\ \longrightarrow\ -(y-2q)=f(x)\]

の結果得られる形であることがわかります。

したがって、直線$y=q$に関して対称移動することは、x軸に関して対称移動し、その後y軸方向に$2q$だけ平行移動するという2つの移動の合成であると考えることができます。

点$(p, q)$に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$を点$(p, q)$に関して対称移動した点は$(2p-a, 2q-b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=2p-x\\[0.5em]Y=2q-y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては点$(p, q)$に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(6)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(6)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(6)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large 2q-y=f(2p-x)\]

あるいは、変形した

\[\large y=2q-f(2p-x)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$に関して対称移動することは、方程式上では$x$を$2p-x$に、$y$を$2q-y$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$y=2q-f(2p-x)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを点$(p, q)$に関して対称移動した先は点$\bigl(2p-k, 2q-f(k)\bigr)$です。

対して、$y=2q-f(2p-x)$の$x=2p-k$における点の座標を調べてみると$\bigl(2p-k, 2q-f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$に関して対称移動したものは確かに$y=2q-f(2p-x)$と表せることがわかります。

　ちなみに、$y=f(x)$のグラフを点$(p, q)$に関して対称移動した$2q-y=f(2p-x)$は、
直線$x=p$に関して対称移動の$x$を$2p-x$に置き換える操作

\[y=f(x)\ \longrightarrow\ y=f(2p-x)\]

と、直線$y=q$に関して対称移動の$y$を$2q-y$に置き換える操作

\[y=f(2p-x)\ \longrightarrow\ 2q-y=f(2p-x)\]

の結果得られる形であることがわかります。これは直線$y=q$に関して対称移動を先に行っても同様の形を得ます。

したがって、点$(p, q)$に関して対称移動することは、直線$x=p$に関して対称移動と直線$y=q$に関して対称移動の2つの移動の合成であると考えることができます。

また、点$(p, q)$に関して対称移動することは、点$(p, q)$を中心に$180°$回転移動することに等しく、回転移動によっても同様に導くことができます。

直線$y=x$に関して対称移動

　点の対称移動

点$(a, b)$を直線$y=x$に関して対称移動した点は$(b, a)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=y\\[0.5em]Y=x\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においては直線$y=x$に関して対称移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(7)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(7)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(7)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動したグラフの方程式は

\[\large x=f(y)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動することは、方程式上では$x$と$y$を入れ替える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の対称移動先が$x=f(y)$であることを確かめてみます。
$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これを直線$y=x$に関して対称移動した先は点$\bigl(f(k), k\bigr)$です。

対して、$x=f(y)$の$y=k$における点の座標を調べてみると$\bigl(f(k), k\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の対称移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動したものは確かに$x=f(y)$と表せることがわかります。

　ただし、方程式$x=f(y)$は変形して$x$の関数、すなわち$y=g(x)$の形にできるとは限りません。

例えば、2次関数$y=x^2$のグラフを直線$y=x$に関して対称移動すると$x=y^2$となります。
方程式$x=y^2$は、$x<0$において1つの$x$の値に対応する$y$の値が2つ存在します。このことは、$y$について解くと$y=\pm\sqrt{x}$となることからもわかります。
1つの$x$の値に対して1つの$y$の値が対応することが$x$の関数であるための条件なので、$x=y^2$は$x$の関数ではありません。

$x=f(y)$を変形して$x$の関数$y=g(x)$にできるのは、元の関数$y=f(x)$が「どの$x$の値も対応する$y$の値が重複しない」という性質をもつとき（※）で、このときの$y=g(x)$のことを$y=f(x)$の逆関数といい、$y=f^{-1}(x)$（$f$インバース$x$）と表します。（$^-1$とついていますが、逆数の意味ではない点には注意です。）

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※より正確には、逆関数をもつことができる$y=f(x)$の条件には「想定する範囲内のすべての$y$の値に必ず対応元の$x$の値が存在する」という性質も必要で、上記の性質と合わせて全単射といいます。
しかし、関数においては「想定する範囲」を値域全体、あるいは値域に含まれる範囲にとれば自動的にこの性質をもちます。

　関数$y=f(x)$のグラフに限らず平面図形や空間図形を表す方程式・不等式上でも対称移動が同様の操作で表されることを同様に考えることで導けます。

(2026/2)内容を変更しました。

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