関数のグラフの対称移動

　グラフの対称移動はどのように行えばよいのでしょうか？

x軸に関して対称移動

　x軸に関して対称移動とは、元のグラフをx軸を中心に裏返したようなグラフになるということです。
したがって、対称移動したグラフ上の各点は元のグラフ上のx座標が同じ点のy座標の正負を逆転させた位置に移動していることになります。

$y=f(x)$のグラフをx軸に関して対称移動すると、$y$が$-y$に置き換わるので対称移動後の関数は

\begin{align*}-y&=f(x)\\[0.5em]\therefore y&=-f(x)\end{align*}

と書くことができます。

y軸に関して対称移動

　y軸に関して対称移動とは、元のグラフをy軸を中心に裏返したようなグラフになるということです。
したがって、対称移動したグラフ上の各点は元のグラフ上のy座標が同じ点のx座標の正負を逆転させた位置に移動していることになります。

$y=f(x)$のグラフをy軸に関して対称移動すると、$x$が$-x$に置き換わるので対称移動後の関数は

\[y=f(-x)\]

と書くことができます。

y軸に関して対称移動しても元のグラフと変わらない関数のことを偶関数といいます。

原点に関して対称移動

　原点に関して対称移動とは、元のグラフを原点を中心に180°回転させたようなグラフになるということです。
したがって、対称移動したグラフ上の各点は元のグラフ上の対応する点の座標の正負を逆転させた位置に移動していることになります。
これは、x軸に関して対称移動とy軸に関して対称移動をそれぞれ1回ずつ行うとちょうど原点に関して対称移動したグラフと同じ形になることからもわかります。

$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動すると、$x$が$-x$に、$y$が$-y$に置き換わるので対称移動後の関数は

\begin{align*}-y&=f(-x)\\[0.5em]\therefore y&=-f(-x)\end{align*}

と書くことができます。

原点に関して対称移動しても元のグラフと変わらない関数のことを奇関数といいます。

$x=a$に関して対称移動

　直線$x=a$に関して対称移動とは、元のグラフをy軸と平行な直線$x=a$を中心に裏返したようなグラフになるということです。
$x=a$に関して対称移動はy軸に関して対称移動と平行移動の組み合わせと考えることができます。
$y=f(x)$と$x=a$の2つのグラフをy軸に関して対称移動すると$y=f(-x)$と$x=-a$となります。
このとき$x=a,x=-a$はそれぞれy軸との距離は$a$であるため、$x=a$と$x=-a$の距離は$2a$となります。
直線に関して対称移動した場合唯一変化しないのは対称軸のみのため、$x=a$に関して対称移動したグラフと同じ形にするには、$y=f(-x)$と$x=-a$の2つのグラフをまとめて平行移動して$x=a$と$x=-a$が重なるようにします。すると、$y=f(-x)$のグラフはx軸方向に$2a$だけ平行移動することになります。

したがって、$y=f(x)$を$x=a$に関して対称移動すると、$x$が$-x$に置き換わり、さらに$x$が$x-2a$に置き換わるので対称移動後の関数は

\begin{align*}y&=f\bigl(-(x-2a)\bigr)\\[0.5em]\therefore y&=f(-x+2a)\end{align*}

と書くことができます。

$y=b$に関して対称移動

　直線$y=b$に関して対称移動とは、元のグラフをx軸と平行な直線$y=b$を中心に裏返したようなグラフになるということです。
$y=b$に関して対称移動はx軸に関して対称移動と平行移動の組み合わせと考えることができます。
$y=f(x)$と$y=b$の2つをx軸に関して対称移動すると$y=-f(x)$と$y=-b$となります。
このとき$y=b,y=-b$はそれぞれx軸との距離は$b$であるため、$y=b$と$y=-b$の距離は$2b$となります。
$y=-f(x)$と$y=-b$の2つを$y=b$と$y=-b$が重なるように平行移動するには$y=-f(x)$をy軸方向に$2b$だけ平行移動することになります。

したがって、$y=f(x)$を$y=b$に関して対称移動すると、$y$が$-y$に置き換わり、さらに$y$が$y-2b$に置き換わるので対称移動後の関数は

\begin{align*}-(y-2b)&=f(x)\\[0.5em]-y+2b&=f(x)\\[0.5em]\therefore y&=-f(x)+2b\end{align*}

と書くことができます。

$(a,b)$に関して対称移動

　点$(a,b)$に関して対称移動とは、元のグラフを点$(a,b)$を中心に180°回転させたようなグラフになるということです。
これは原点に関して対称移動と同様に、$x=a$に関して対称移動と$y=b$に関して対称移動の組み合わせと考えることができます。

したがって、$y=f(x)$を点$(a,b)$に関して対称移動すると、$x$が$-(x-2a)$に置き換わり、さらに$y$が$-(y-2b)$に置き換わるので対称移動後の関数は

\begin{align*}-(y-2b)&=f\bigl(-(x-2a)\bigr)\\[0.5em]-y+2b&=f(-x+2a)\\[0.5em]\therefore y&=-f(-x+2a)+2b\end{align*}

と書くことができます。

$y=x$に関して対称移動

　直線$y=x$に関して対称移動とは、元のグラフを$y=x$を中心に裏返したようなグラフになるということです。
したがって、対称移動したグラフ上の各点は元のグラフ上の座標の$x,y$を逆転させた位置に移動していることになります。

$y=f(x)$を$y=x$に関して対称移動すると、$x$と$y$が入れ替わるので対称移動後の関数は

\[x=f(y)\]

となります。

これをyについて解き

\[y=g(x)\]

となったときの$g(x)$のことを$f(x)$の逆関数といい、これを$f^{-1}(x)$と書く場合もあります。

元の関数と逆関数には

\[f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x\]

という性質があります。

関連：関数のグラフの平行移動