べき乗とは、
\[\large a^n\]
という形で書き表される計算のことです。
$a$のことを底、添え字の$n$のことを指数といいます。
本記事では、べき乗の基本である累乗がどのような計算であるのかについて解説します。
累乗とは？
累乗とは、同じ数をいくつか掛け合わせることです。
累乗$a^n$は$a$を$n$個掛け合わせることを表し、
累乗$a^n$は$a$を$n$個掛け合わせることを表し、
\[\large a^n=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}^{n 個}\]
となります。
例えば、$3^2$は$3$を$2$個掛け合わせたことを表し、$3$の$2$乗と読みます。
そしてその値は
そしてその値は
\begin{align*}3^2&=3\times3\\[0.5em]&=9\end{align*}
となります。
指数$n$は底$a$を掛け合わせる個数を表すので自然数となります。すなわち、累乗とは指数$n$が自然数のべき乗のことを指します。
掛け算は本来2つの数に対する計算なので、$n=1$のとき、すなわち$a^1$は$a$を$1$個掛け合わせるという掛け算ではありえない説明となるのですが、上記の累乗を表す式の規則性に着目して$a^1$は
\[a^1=\overbrace{a}^{1 個}\]
であるとします。
あるいは、あらかじめ$a^1=a$であるとし、指数が$1$増えるたびに値が$a$倍していく
\begin{cases}a^1=a\\[1em]a^{n+1}=a^n\times a\end{cases}
という規則で累乗を定義する方法もあります。
底$a$が$0$または$1$のときは、どのような自然数$n$のときでも表す数は底に等しくなります。
\begin{align*}0^n&=\overbrace{0\times0\times\cdots\times0\times0}^{n
個}=0\\[1em]1^n&=\overbrace{1\times1\times\cdots\times1\times1}^{n
個}=1\end{align*}
$0$や$1$は、自身をいくつ掛け合わせてもその積は変わらないためです。
累乗における指数法則
上のように累乗を定義すると、以下のような計算法則があることがわかります。
任意の実数$a,p,q$と自然数$b,c,n$について
これら計算法則は、指数の変化に着目して指数法則と呼ばれます。
\begin{align}a^b\times
a^c&=a^{b+c}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}&(ただし、a\neq0,b>c)\\[1em]\bigl(a^b\bigr)^c&=a^{bc}\\[1em](pq)^n&=p^n
q^n\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\frac{p^n}{q^n}&(ただし、q\neq0)\end{align}
これらが成り立つことを1つ1つ確認してみます。
$(1)a^b\times a^c=a^{b+c}$
$a^b, a^c$はそれぞれ累乗の定義より
\begin{align*}a^b&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times
a}^{b 個}\\[1em]a^c&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times
a\times a}^{c 個}\end{align*}
であるので、$a^b\times a^c$は
\begin{align*}a^b\times a^c&=(\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a\times a}^{b 個})\times(\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a\times a}^{c
個})\\[0.5em]&=\overbrace{a\times a\times a\times\cdots\times
a\times a\times a}^{(b+c) 個}\end{align*}
となります。
したがって、累乗の定義より
\[\large a^b\times a^c=a^{b+c}\]
が成り立つことがわかります。
$(2)\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$
$\dfrac{a^b}{a^c}$は
\[\frac{a^b}{a^c}=\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times
a}^{b 個}}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}_{c
個}}\]
と書けます。
$b>c$のとき約分すると
\begin{align*}\frac{\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times
a}^{b 個}}{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}_{c
個}}&=\frac{\overbrace{a\times
a\times\cdots\times\overbrace{\textcolor{red}{a\times\cdots\times a}}^{c
個}}^{b 個}}{\underbrace{\textcolor{red}{a\times a\times\cdots\times
a\times a}}_{c 個}}\\[0.5em]&=\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a\times a}^{(b-c) 個}\end{align*}
となるので、累乗の定義より
\[\large\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}\]
が成り立つことがわかります。
$(3)\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$
$\bigl(a^b\bigr)^c$は
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\overbrace{a^b\times
a^b\times\cdots\times a^b\times a^b}^{c
個}\\[0.5em]&=\overbrace{(\underbrace{a\times a\times\cdots\times
a\times a}_{b 個})\times\cdots\times(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a\times a}_{b 個})}^{c
個}\\[0.5em]&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times
a}^{(b\times c) 個}\end{align*}
と書けます。
したがって、累乗の定義より
\[\large\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}\]
が成り立つことがわかります。
$(4)(pq)^n=p^n q^n$
$(pq)^n$は
\begin{align*}(pq)^n&=\overbrace{pq\times pq\times\cdots\times
pq\times pq}^{n 個}\\[0.5em]&=\overbrace{(p\times q)\times(p\times
q)\times\cdots\times(p\times q)\times(p\times q)}^{n
個}\\[0.5em]&=\overbrace{p\times p\times\cdots\times p\times p}^{n
個}\times\overbrace{q\times q\times\cdots\times q\times q}^{n
個}&(\because交換法則)\end{align*}
と書けます。
したがって、累乗の定義より
\[\large(pq)^n=p^n q^n\]
が成り立つことがわかります。
$(5)\left(\dfrac{p}{q}\right)^n=\dfrac{p^n}{q^n}$
$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n$は
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\overbrace{\frac{p}{q}\times\frac{p}{q}\times\cdots\times\frac{p}{q}\times\frac{p}{q}}^{n
個}\\[0.5em]&=\frac{\overbrace{p\times p\times\cdots\times p\times
p}^{n 個}}{\underbrace{q\times q\times\cdots\times q\times q}_{n
個}}\end{align*}
と書けます。
したがって、累乗の定義より
\[\large\left(\frac{p^n}{q^n}\right)^n=\frac{p^n}{q^n}\]
が成り立つことがわかります。
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