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2025年6月23日

べき乗とは? ②整数乗(0乗、負の整数乗への拡張)

 累乗は、指数が自然数のべき乗のことでした。
この指数の範囲は、整数全体に拡張することができます。

$0$乗

 累乗の定義は
\[a^n=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}^{n 個}\]
というものでした。
この定義によると、指数$n$の値が$1$だけ大きくなるごとに累乗の値は$a$倍されるということがわかります。
これは言い換えると、指数$n$の値が$1$だけ小さくなるごとに累乗の値は$\dfrac{1}{a}$倍されるということです。
$a^1=a$であることと上記の累乗の性質を利用して$a^0$というものを考えると
\begin{align*}a^0&=a^1\times\frac{1}{a}\\[0.5em]&=a\times\frac{1}{a}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となります。ただし、分母が$0$という数は考えることができないので、$a$が$0$でない場合に限ります。
したがって、$0$乗は
\[\large a^0=1\quad(ただし、a\neq0)\]
となります。

負の整数乗

 負の整数乗は、$0$乗を考えたときにもちいた累乗の性質「指数$n$の値が$1$だけ小さくなるごとに$\dfrac{1}{a}$倍される」を利用して考えることができます。
$a^0$の指数が$1$だけ小さくなると
\begin{align*}a^{0-1}&=a^0\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-1}&=1\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-1}&=\frac{1}{a}\end{align*}
$a^{-1}$の指数が$1$だけ小さくなると
\begin{align*}a^{-1-1}&=a^{-1}\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-2}&=\frac{1}{a}\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-2}&=\frac{1}{a^2}\end{align*}
$a^{-2}$の指数が$1$だけ小さくなると
\begin{align*}a^{-2-1}&=a^{-2}\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-3}&=\frac{1}{a^2}\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-3}&=\frac{1}{a^3}\end{align*}
このように考えていくと負の整数乗$a^{-n}$($n:$自然数)は
\[\large a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(ただし、a\neq0)\]
となることがわかります。

\begin{cases}a^1=a\\[0.5em]a^{n+1}=a^n\times a\end{cases}
により累乗を定義した場合も、$0$乗や負の整数乗も同様に定義されます。
2つ目の式を変形して、$n$が$1$以下の場合を定義できるようにします。
まず、$n$を$n-1$に置き換えます。
\begin{align*}a^{(n-1)+1}&=a^{n-1}\times a\\[0.5em]a^n&=a^{n-1}\times a\end{align*}
$a\neq0$という条件のもと、両辺を$a$で割ります。
\begin{align*}a^n\times\frac{1}{a}&=a^{n-1}\\[0.5em]\therefore a^{n-1}&=a^n\times\frac{1}{a}\end{align*}
したがって、指数$n$の範囲を整数全体に拡張したとき、$n$が$1$以下の場合は
\begin{cases}a^1=a\\[0.5em]a^{n-1}=a^n\times\dfrac{1}{a}&(a\neq0)\end{cases}
と定義できます。
上記の式に$n=1$を代入すると
\begin{align*}a^{1-1}&=a^1\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^0&=a\times\frac{1}{a}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となり、$0$でない任意の実数$a$の$0$乗は$a^0=1$であることがわかります。
また、$n=0$を代入すると
\begin{align*}a^{0-1}&=a^0\times\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-1}&=1\times\frac{1}{a}\\[0.5em]&=\frac{1}{a}\end{align*}
となり、2つ目の式の$n$を$-n$に置き換えると
\begin{align*}a^{-n-1}&=a^{-n}\times\frac{1}{a}\\[0.5em]\therefore a^{-(n+1)}&=a^{-n}\times\frac{1}{a}\end{align*}
となります。
このことから、特に指数$n$が$-1$以下の場合は、$0$でない任意の実数$a$をもちいて
\begin{cases}a^{-1}=\frac{1}{a}\\[0.5em]a^{-(n+1)}=a^{-n}\times\frac{1}{a}\end{cases}
と定義されているので、負の整数乗は$0$でない任意の実数$a$と自然数$n$をもちいて
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]
と書けることがわかります。

整数乗における指数法則

 累乗における指数法則は
任意の実数$a,p,q$と任意の自然数$b,c,n$について
\begin{align}a^b\times a^c&=a^{b+c}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}&(ただし、a\neq0,b>c)\\[1em]\bigl(a^b\bigr)^c&=a^{bc}\\[1em](pq)^n&=p^n q^n\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\frac{p^n}{q^n}&(ただし、q\neq0)\end{align}
でした。
これら累乗における指数法則は、指数の範囲を整数全体に拡張しても成り立ちます。
ただし、$0$乗と負の整数乗の定義の関係で$a,p,q$は$0$以外の任意の実数となり、指数を自然数全体の範囲に制限するための$(2)$の条件$b>c$が外れ、以下のように書き直されます。
$0$以外の任意の実数$a,p,q$と任意の整数$b,c,n$について
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^{b+c}\tag*{(1)'}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}\tag*{(2)'}\\[1em]\bigl(a^b\bigr)^c&=a^{bc}\tag*{(3)'}\\[1em](pq)^n&=p^n q^n\tag*{(4)'}\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\frac{p^n}{q^n}\tag*{(5)'}\end{align*}
これらが整数乗における指数法則です。

これらが成り立つことを確かめてみます。

 まずは$(2)'$から確かめます。

$(2)'\ \dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

 $0$乗を含んで計算法則$(2)$が成り立つならば、$a\neq0$の条件のもと
$b=0$かつ$c$が自然数のとき
\begin{align*}\frac{a^0}{a^c}&=a^{0-c}\\[0.5em]&=a^{-c}\end{align*}
$b$が自然数かつ$c=0$のとき
\begin{align*}\frac{a^b}{a^0}&=a^{b-0}\\[0.5em]&=a^b\end{align*}
$b=c=0$のとき
\begin{align*}\frac{a^0}{a^0}&=a^{0-0}\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
となるはずです。
$a^0=1$であること、そして負の整数乗$a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}$($k:$自然数)を利用して$\dfrac{a^0}{a^c}, \dfrac{a^b}{a^0}, \dfrac{a^0}{a^0}$をそれぞれ計算してみると
\begin{align*}\frac{a^0}{a^c}&=\frac{1}{a^c}\\[0.5em]&=a^{-c}\\[1em]\frac{a^b}{a^0}&=\frac{a^b}{1}\\[0.5em]&=a^b\\[1em]\frac{a^0}{a^0}&=1&(\because分数の性質)\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(2)$は$0$乗を含んでも成り立つことがわかります。

 今度は、負の整数乗も含んで計算法則$(2)$が成り立つならば、$a\neq0$の条件のもと
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($b':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^{-b'}}{a^c}\\[0.5em]&=a^{-b'-c}\\[0.5em]&=a^{-(b' +c)}\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^b}{a^{-c'}}\\[0.5em]&=a^{b-(-c')}\\[0.5em]&=a^{b+c'}\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^{-b'}}{a^{-c'}}\\[0.5em]&=a^{-b'-(-c')}\\[0.5em]&=a^{c' -b'}\end{align*}
となるはずです。
負の整数乗$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$($n:$自然数)を利用してそれぞれの場合を計算すると、
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^{-b'}}{a^c}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{a^{b'}}}{a^c}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{a^{b'}}}{a^c}\times\frac{a^{b'}}{a^{b'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b'}\times a^c}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b' +c}}&\bigl(\because(1)\bigr)\\[0.5em]&=a^{-(b' +c)}\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^b}{a^{-c'}}\\[0.5em]&=\frac{a^b}{\cfrac{1}{a^{c'}}}\\[0.5em]&=\frac{a^b}{\cfrac{1}{a^{c'}}}\times\frac{a^{c'}}{a^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{a^b\times a^{c'}}{1}\\[0.5em]&=a^b\times a^{c'}\\[0.5em]&=a^{b+c'}&\bigl(\because(1)\bigr)\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=\frac{a^{-b'}}{a^{-c'}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{a^{b'}}}{\cfrac{1}{a^{c'}}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{a^{b'}}}{\cfrac{1}{a^{c'}}}\times\frac{a^{b'}\times a^{c'}}{a^{b'}\times a^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{a^{c'}}{a^{b'}}\\[0.5em]&=a^{c' -b'}&\bigl(\because(2)\bigr)\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(2)$は負の整数乗を含んでも成り立つことがわかります。

以上より、計算法則$(2)'$が成り立つことがわかります。

$(1)'\ a^b\times a^c=a^{b+c}$

 $0$乗を含んで計算法則$(1)$が成立するならば、$a\neq0$の条件のもと
$b=0$かつ$c$が自然数のとき
\begin{align*}a^0\times a^c&=a^{0+c}\\[0.5em]&=a^c\end{align*}
$b$が自然数かつ$c=0$のとき
\begin{align*}a^b\times a^0&=a^{b+0}\\[0.5em]&=a^b\end{align*}
$b=c=0$のとき
\begin{align*}a^0\times a^0&=a^{0+0}\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
となるはずです。
$a^0=1$なので、$a^0\times a^c, a^b\times a^0, a^0\times a^0$をそれぞれ計算してみると
\begin{align*}a^0\times a^c&=1\times a^c\\[0.5em]&=a^c\\[1em]a^b\times a^0&=a^b\times1\\[0.5em]&=a^b\\[1em]a^0\times a^0&=1\times1\\[0.5em]&=1\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(1)$は$0$乗を含んでも成り立つことがわかります。

 今度は、負の整数乗も含んで計算法則$(1)$が成り立つならば、$a\neq0$の条件のもと
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($b':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^{-b'}\times a^c\\[0.5em]&=a^{-b' +c}\\[0.5em]&=a^{c-b'}\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^b\times a^{-c'}\\[0.5em]&=a^{b-c'}\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^{-b'}\times a^{-c'}\\[0.5em]&=a^{-b'+(-c')}\\[0.5em]&=a^{-(b' +c')}\end{align*}
となるはずです。
負の整数乗$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$($n:$自然数)を利用してそれぞれの場合を計算すると、
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($b':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^{-b'}\times a^c\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b'}}\times a^c\\[0.5em]&=\frac{a^c}{a^{b'}}\\[0.5em]&=a^{c-b'}&\bigl(\because(2)\bigr)\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^b\times a^{-c'}\\[0.5em]&=a^b\times\frac{1}{a^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{a^b}{a^{c'}}\\[0.5em]&=a^{b-c'}&\bigl(\because(2)\bigr)\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}a^b\times a^c&=a^{-b'}\times a^{-c'}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b'}}\times\frac{1}{a^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b'}\times a^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b' +c'}}&\bigl(\because(1)\bigr)\\[0.5em]&=a^{-(b' +c')}\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(1)$は負の整数乗を含んでも成り立つことがわかります。

以上より、計算法則$(1)'$が成り立つことがわかります。

$(3)'\ \bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$

 $0$乗を含んで計算法則$(3)$が成立するならば、$a\neq0$の条件のもと
$b=0$かつ$c$が自然数のとき
\begin{align*}\bigl(a^0\bigr)^c&=a^{0\times c}\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
$b$が自然数かつ$c=0$のとき
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^0&=a^{b\times0}\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
$b=c=0$のとき
\begin{align*}\bigl(a^0\bigr)^0&=a^{0\times0}\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
となるはずです。
$a^0=1$なので、$\bigl(a^0\bigr)^c, \bigl(a^b\bigr)^0, \bigl(a^0\bigr)^0$をそれぞれ計算してみると
\begin{align*}\bigl(a^0\bigr)^c&=1^c\\[0.5em]&=1\\[1em]\bigl(a^b\bigr)^0&=A^0&(a^b=A\smallとおく。)\\ \small a\neq0\Rightarrow a^b\neq0,すなわちA\neq0なので\\ &=1\\[1em]\bigl(a^0\bigr)^0&=1^0\\[0.5em]&=1\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(3)$は$0$乗を含んでも成り立つことがわかります。

 今度は、負の整数乗も含んで計算法則$(3)$が成り立つならば、$a\neq0$の条件のもと
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($b':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^{-b'}\bigr)^c\\[0.5em]&=a^{-b' c}\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^b\bigr)^{-c'}\\[0.5em]&=a^{b\times(-c')}\\[0.5em]&=a^{-bc'}\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^{-b'}\bigr)^{-c'}\\[0.5em]&=a^{-b'\times(-c')}\\[0.5em]&=a^{b' c'}\end{align*}
となるはずです。
負の整数乗$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$($n:$自然数)を利用してそれぞれの場合を計算すると、
$b$が負の整数かつ$c$が$0$以上の整数のとき、$b=-b'$($b':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^{-b'}\bigr)^c\\[0.5em]&=\left(\frac{1}{a^{b'}}\right)^c\\[0.5em]&=\frac{1^c}{\bigl(a^{b'}\bigr)^c}&\bigl(\because(5)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{b' c}}&\bigl(\because(3)\bigr)\\[0.5em]&=a^{-b' c}\end{align*}
$b$が$0$以上の整数かつ$c$が負の整数のとき、$c=-c'$($c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^b\bigr)^{-c'}\\[0.5em]&=\frac{1}{\bigl(a^b\bigr)^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{bc'}}&\bigl(\because(3)\bigr)\end{align*}
$b,c$がともに負の整数のとき、$b=-b', c=-c'$($b', c':$自然数)とおくと
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\bigl(a^{-b'}\bigr)^{-c'}\\[0.5em]&=\frac{1}{\left(\cfrac{1}{a^{b'}}\right)^{c'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\cfrac{1^{c'}}{\bigl(a^{b'}\bigr)^{c'}}}&\bigl(\because(5)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{1}{\cfrac{1}{a^{b' c'}}}&\bigl(\because(3)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{1}{\cfrac{1}{a^{b' c'}}}\times\frac{a^{b' c'}}{a^{b' c'}}\\[0.5em]&=a^{b' c'}\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(3)$は負の整数乗を含んでも成り立つことがわかります。

以上より、計算法則$(3)'$が成り立つことがわかります。

$(4)'\ (pq)^n=p^n q^n$

 $0$乗を含んで計算法則$(4)$が成立するならば、$p\neq0$かつ$q\neq0$の条件のもと
$n=0$のとき
\begin{align*}(pq)^0&=p^0 q^0\\[0.5em]&=1\times1\\[0.5em]&=1\end{align*}
となるはずです。
$a^0=1$であることを利用して$(pq)^0$を計算してみると、
$pq=B$とおきます。
\[(pq)^0=B^0\]
$p\neq0$かつ$q\neq0$なので$pq\neq0$、すなわち$B\neq0$であることから
\[B^0=1\]
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(4)$は$0$乗を含んでも成り立つことがわかります。

 今度は、負の整数乗も含んで計算法則$(4)$が成り立つならば、$p\neq0$かつ$q\neq0$の条件のもと
$n$が負の整数のとき、$n=-n'$($n':$自然数)とおくと
\begin{align*}(pq)^n&=(pq)^{-n'}\\[0.5em]&=p^{-n'} q^{-n'}\end{align*}
となるはずです。
負の整数乗$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$($n:$自然数)を利用して$(pq)^n$を計算してみると
\begin{align*}(pq)^n&=(pq)^{-n'}\\[0.5em]&=\frac{1}{(pq)^{n'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{p^{n'} q^{n'}}&\bigl(\because(4)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{1}{p^{n'}}\times\frac{1}{q^{n'}}\\[0.5em]&=p^{-n'}\times q^{-n'}\\[0.5em]&=p^{-n'} q^{-n'}\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(4)$は負の整数乗を含んでも成り立つことがわかります。

以上より、計算法則$(4)'$が成り立つことがわかります。

$(5)'\ \left(\dfrac{p}{q}\right)^n=\dfrac{p^n}{q^n}$

 $0$乗を含んで計算法則$(4)$が成立するならば、$p\neq0$かつ$q\neq0$の条件のもと
$n=0$のとき
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^0&=\frac{p^0}{q^0}\\[0.5em]&=\frac{1}{1}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となるはずです。
$a^0=1$であることを利用して$\left(\dfrac{p}{q}\right)^0$を計算してみると、
$\dfrac{p}{q}=C$とおきます。
\[\left(\frac{p}{q}\right)^0=C^0\]
$p\neq0$かつ$q\neq0$なので$\dfrac{p}{q}\neq0$、すなわち$C\neq0$であることから
\[C^0=1\]
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(5)$は$0$乗を含んでも成り立つことがわかります。

 今度は、負の整数乗も含んで計算法則$(5)$が成り立つならば、$p\neq0$かつ$q\neq0$の条件のもと
$n$が負の整数のとき、$n=-n'$($n':$自然数)とおくと
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\left(\frac{p}{q}\right)^{-n'}\\[0.5em]&=\frac{p^{-n'}}{q^{-n'}}\end{align*}
となるはずです。
負の整数乗$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$($n:$自然数)を利用して$\left(\dfrac{p}{q}\right)^n$を計算してみると
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^n&=\left(\frac{p}{q}\right)^{-n'}\\[0.5em]&=\frac{1}{\left(\cfrac{p}{q}\right)^{n'}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\cfrac{p^{n'}}{q^{n'}}}&\bigl(\because(5)\bigr)\\[0.5em]&=\frac{1}{\cfrac{p^{n'}}{q^{n'}}}\times\frac{\cfrac{1}{p^{n'}}}{\cfrac{1}{p^{n'}}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{p^{n'}}}{\cfrac{1}{q^{n'}}}\\[0.5em]&=\frac{p^{-n'}}{q^{-n'}}\end{align*}
となります。

したがって、同じ結果を得るので計算法則$(5)$は負の整数乗を含んでも成り立つことがわかります。

以上より、計算法則$(5)'$が成り立つことがわかります。


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