三角関数とは？ ②単位円による定義

　三角比とは、直角三角形の1つの鋭角$θ$に対して定まる2つの辺の比のことで、代表的なものに$\sinθ, \cosθ, \tanθ$があります。

関連：三角関数とは？　①三角比（直角三角形による定義）

これらの値は、鋭角$θ$の大きさに応じてただ1つに定まります。
このように、ある値を決めると対応する値が1つに決まる関係を関数といいます。

関連：関数とは？

したがって、$\sinθ, \cosθ, \tanθ$は関数として扱うことができ、これらをまとめて三角関数といいます。
すなわち、角度と三角比の値との対応関係に着目したものが三角関数です。

直角三角形による定義においては三角比と三角関数は同じものとして扱うことができます。
しかし、直角三角形による定義では$θ$は鋭角なので、$0°<θ<90°$の範囲の角度にしか対応できません。

そこで、任意の角度においても値を定められるように、直角三角形に依存しない定義として単位円をもちいて三角関数を定義します。

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2次関数とは？（グラフの形、頂点、軸）

　2次関数とは、

\[\large y=ax^2+bx+c\qquad(a, b, c:定数,a\neq0)\]

という独立変数（ここでは$x$）についての2次式によって値が決まる関数のことです。

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対数関数とは？

　対数関数とは、

\[\large y=\log_a{x}\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を真数とする対数$\log_a{x}$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。

関連：対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

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指数関数とは？

　指数関数とは、

\[\large y=a^x\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を指数とするべき乗$a^x$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての指数関数は実数範囲のべき乗$a^x$をもちいるので、実数乗の定義より底$a$は$a>0$であり、かつ常に$a^x=1$となる$a=1$のときを除いて一般に$a\neq1$とします。

関連：べき乗とは？　④実数乗（無理数乗への拡張）

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逆関数とは？

　関数とは、ある変数の値1つに対して別の変数のただ1つの値が対応するような規則で定められた関係のことでした。（対応元の変数を独立変数、対応先の変数を従属変数といいます。）
もし、ある関数の独立変数の値と従属変数の値が入れ替わったような対応規則によって定められた関数が存在するとき、その関数のことを逆関数といいます。

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関数とは？

　関数とは、ある対応関係のことをいいます。

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1次関数とは？（グラフの形、傾き、y切片）

　1次関数とは、

\[\large y=ax+b\quad(a, b:定数; a\neq0)\]

という独立変数（ここでは$x$）についての1次式によって値が決まる関数のことです。
$a$は傾き、$b$はy切片といいます。$a=0$のときは定数関数という別の関数で、基本的に1次関数には含まれません。

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偶関数・奇関数とは？

偶関数

　偶関数とは、すべての$x$で

\[\large f(-x)=f(x)\]

を満たす関数のことです。

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平均変化率とは？

　平均変化率とは、$x$の変化量に対する$y$の変化量の割合、言い換えれば$x$の増加量$1$あたりの$y$の変化量のことです。変化の割合ともいいます。

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複素数の偏角とarg・Arg

複素数の偏角

　$0$でない複素数$z$の偏角は複素数平面上の実軸の正の部分から原点と点$z$を結ぶ線分である動径まで反時計回りを正として測った角（一般角）のことです。$0$の偏角は定義できません。

関連：一般角とは？

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1次関数と反比例のグラフと三角形の面積

「上図は1次関数$y=2x+5$と反比例$y=\dfrac{a}{x}$のグラフである。
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフは$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、2つのグラフは$x=-3$で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$a$の値を求めよ。

(2)$x=-3$における交点の座標を求めよ。

(3)$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$と$(2)$で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」

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床関数と天井関数

床関数

　$\lfloor x\rfloor$や$[x]$と書き表される関数を床関数といいます。$[x]$の$[\ ]$は単なる括弧ではなく、床関数を表すものとしてガウス記号と呼ばれます。

床関数$\lfloor x\rfloor$の値は整数$n$をもちいて以下のように決まります。

実数$x$が$n\leqq x<n+1$の範囲にあるとき

\[\lfloor x\rfloor=n\]

すなわち、実数$x$以下の最大の整数が床関数$\lfloor x\rfloor$のとる値となります。

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[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分

\[\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)\]
この定積分はどのような値となるでしょうか？

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x^xの微分

　$x^x$は底と指数ともに変数であるため、べき関数$x^a\ (a:定数)$でも指数関数$a^x\ (a:定数)$でもなく、これらの合成関数でもありません。

これを微分するためには以下のような方法で行います。

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f(x)=|x|を導関数にもつ関数を求める

\[f(x)=|x|\]

「上の関数$f(x)$を導関数にもつ関数$F(x)$を求めよ。」

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合成関数の最大値・最小値を求める

「次の関数の[ ]内の定義域における最大値と最小値を求めよ。
(1)

\begin{align*}y=(x^2-2x-3)^2+3(x^2-2x-3)+3\\ [1\leqq x\leqq3]&\end{align*}

(2)

\begin{align*}y=(x^2+4x-3)^3-(x^2+4x-3)^2-(x^2+4x-3)+2\\ [0\leqq x\leqq1]&\end{align*}

」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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