「上図は1次関数y=2x+5y=2x+5と反比例y=axy=axのグラフである。
y=axy=axのグラフは(6,12)(6,12)を通り、2つのグラフはx=−3x=−3で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。
y=axy=axのグラフは(6,12)(6,12)を通り、2つのグラフはx=−3x=−3で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)aaの値を求めよ。
(2)x=−3x=−3における交点の座標を求めよ。
(3)(0,5),(6,12)(0,5),(6,12)と(2)(2)で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」(1)aaの値
グラフというのはy=2x+5y=2x+5やy=axy=axといった関数を成り立たせるx,yx,yの組を座標にもつ点の集まりのことです。
例えば1次関数y=2x+5y=2x+5の場合
このxxとyyの組はy=2x+5y=2x+5を等式として成り立たせることができる数の組です。
この2数の組x,yx,yを座標とする点を打っていくと最終的にできあがるのがy=2x+5y=2x+5のグラフとなります。
同様にy=axy=axのグラフもy=axy=axを成り立たせることができる2数の組を座標とする点が集まってできています。
xxに−2−2を代入するとy=2×(−2)+5=1y=2×(−2)+5=1
xxに−1−1を代入するとy=2×(−1)+5=3y=2×(−1)+5=3
xxに00を代入するとy=2×0+5=5y=2×0+5=5
xxに11を代入するとy=2×1+5=7y=2×1+5=7
xxに22を代入するとy=2×2+5=9y=2×2+5=9
というようにxxに何らかの数を代入すると、それぞれyyの値が求まります。xxに−1−1を代入するとy=2×(−1)+5=3y=2×(−1)+5=3
xxに00を代入するとy=2×0+5=5y=2×0+5=5
xxに11を代入するとy=2×1+5=7y=2×1+5=7
xxに22を代入するとy=2×2+5=9y=2×2+5=9
このxxとyyの組はy=2x+5y=2x+5を等式として成り立たせることができる数の組です。
この2数の組x,yx,yを座標とする点を打っていくと最終的にできあがるのがy=2x+5y=2x+5のグラフとなります。
同様にy=axy=axのグラフもy=axy=axを成り立たせることができる2数の組を座標とする点が集まってできています。
(6,12)(6,12)はy=axy=axのグラフ上の点なので、y=axy=axにx=6,y=12x=6,y=12を代入した
12=a612=a6
は等式として成り立っています。これをaaについて解けば適切なaaの値を求めることができます。
両辺に66を掛けると
12×6=a6×63=aa=3
と求まります。
(2)x=−3における交点の座標
2つのグラフがx=−3で交わるということはy=2x+5のグラフ上のx=−3における点とy=3xのグラフのx=−3における点が同じであるということです。
したがって、2通りの解き方があります。
1. y=2x+5から求める
y=2x+5にx=−3を代入するとyの値は
y=2×(−3)+5=−6+5=−1
となります。
x=−3,y=−1はy=2x+5を等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると(−3,−1)となります。
これがy=2x+5のグラフ上のx=−3における点の座標となります。
2. y=3xから求める
y=3xにx=−3を代入すると
b=3−3=3×(−1)−3×(−1)=−33=−1
となります。
x=−3,y=−1はy=3xを等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると(−3,−1)となります。
これがy=3xのグラフ上のx=−3における点の座標となります。
(3)(0,5),(6,12)と(2)で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積
分割してできたそれぞれの三角形の面積を求め、合計すれば求めたい三角形の面積がわかります。
y軸上にある辺を底辺とすると頂点(−3,−1),(6,12)からy軸へおろした垂線の長さがそれぞれの三角形の高さとなります。
これら垂線はx軸に平行でy軸上の点のx座標はすべて0なので、垂線の長さは頂点(−3,−1),(6,12)それぞれのx座標の絶対値となります。
これら垂線はx軸に平行でy軸上の点のx座標はすべて0なので、垂線の長さは頂点(−3,−1),(6,12)それぞれのx座標の絶対値となります。
したがって、(−3,−1)を頂点にもつ三角形(上図の青い三角形)の高さは|−3|=3、(6,12)を頂点にもつ三角形(上図の緑の三角形)の高さは|6|=6となります。
あとは底辺の長さが分かればよいのですが、そのためには底辺の(0,5)でないほうの端点、すなわち2点(−3,−1)と(6,12)を通る直線とy軸との交点の座標を求める必要があります。
あとは底辺の長さが分かればよいのですが、そのためには底辺の(0,5)でないほうの端点、すなわち2点(−3,−1)と(6,12)を通る直線とy軸との交点の座標を求める必要があります。
2点(−3,−1)と(6,12)を通る直線の方程式を求めます。
直線の方程式はy=ax+b(a,b:定数)で表されます。
直線は(−3,−1)を通るのでx=−3,y=−1を代入すると
−1=−3a+b
が成り立ちます。
また、直線は(6,12)を通るのでx=6,y=12を代入すると
12=6a+b
が成り立ちます。
(a),(b)を連立して解きます。
(b)−(a)より
32=9aa=16
(a)に(c)を代入すると
−1=−3×16+bb=−12
したがって、点(−3,−1)と(6,12)を通る直線の方程式はy=16x−12であるとわかります。
この直線とy軸の交点はy切片なので、その座標は(0,−12)です。
この直線とy軸の交点はy切片なので、その座標は(0,−12)です。
底辺の長さは両端の座標(0,5),(0,−12)よりx座標が等しいのでy座標の差より求められ
5−(−12)=112
であるとわかります。
以上より青い三角形の面積は
12×112×3=334
緑の三角形の面積は
12×112×6=332
となるので、(0,5),(6,12),(−3,−1)の3点を頂点とする三角形の面積は
334+332=334+664=994
と求められます。
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