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2023年10月23日

1次関数と反比例のグラフと三角形の面積

y=2x+5とy=a/xのグラフと点(6,1/2)
「上図は1次関数y=2x+5y=2x+5と反比例y=axy=axのグラフである。
y=axy=axのグラフは(6,12)(6,12)を通り、2つのグラフはx=3x=3で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)aaの値を求めよ。

(2)x=3x=3における交点の座標を求めよ。

(3)(0,5),(6,12)(0,5),(6,12)(2)(2)で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」

(1)aaの値

 グラフというのはy=2x+5y=2x+5y=axy=axといった関数を成り立たせるx,yx,yの組を座標にもつ点の集まりのことです。

y=2x+5のグラフ
例えば1次関数y=2x+5y=2x+5の場合
xx22を代入するとy=2×(2)+5=1y=2×(2)+5=1
xx11を代入するとy=2×(1)+5=3y=2×(1)+5=3
xx00を代入するとy=2×0+5=5y=2×0+5=5
xx11を代入するとy=2×1+5=7y=2×1+5=7
xx22を代入するとy=2×2+5=9y=2×2+5=9
というようにxxに何らかの数を代入すると、それぞれyyの値が求まります。
このxxyyの組はy=2x+5y=2x+5を等式として成り立たせることができる数の組です。
この2数の組x,yx,yを座標とする点を打っていくと最終的にできあがるのがy=2x+5y=2x+5のグラフとなります。
同様にy=axy=axのグラフもy=axy=axを成り立たせることができる2数の組を座標とする点が集まってできています。
 (6,12)(6,12)y=axy=axのグラフ上の点なので、y=axy=axx=6,y=12x=6,y=12を代入した
12=a612=a6
は等式として成り立っています。これをaaについて解けば適切なaaの値を求めることができます。
両辺に66を掛けると
12×6=a6×63=aa=3
と求まります。

(2)x=3における交点の座標

 2つのグラフがx=3で交わるということはy=2x+5のグラフ上のx=3における点とy=3xのグラフのx=3における点が同じであるということです。
したがって、2通りの解き方があります。

1. y=2x+5から求める

 y=2x+5x=3を代入するとyの値は
y=2×(3)+5=6+5=1
となります。
x=3,y=1y=2x+5を等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると(3,1)となります。
これがy=2x+5のグラフ上のx=3における点の座標となります。

2. y=3xから求める

 y=3xx=3を代入すると
b=33=3×(1)3×(1)=33=1
となります。
x=3,y=1y=3xを等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると(3,1)となります。
これがy=3xのグラフ上のx=3における点の座標となります。

(3)(0,5),(6,12)(2)で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積

3点を頂点とする三角形
 (0,5),(6,12)(2)で求めた(3,1)の3点を頂点とする三角形は上図のようになります。この三角形はy軸で分割すると2つの三角形ができます。
分割してできたそれぞれの三角形の面積を求め、合計すれば求めたい三角形の面積がわかります。
2つの三角形の底辺と高さ
y軸上にある辺を底辺とすると頂点(3,1),(6,12)からy軸へおろした垂線の長さがそれぞれの三角形の高さとなります。
これら垂線はx軸に平行でy軸上の点のx座標はすべて0なので、垂線の長さは頂点(3,1),(6,12)それぞれのx座標の絶対値となります。
したがって、(3,1)を頂点にもつ三角形(上図の青い三角形)の高さは|3|=3(6,12)を頂点にもつ三角形(上図の緑の三角形)の高さは|6|=6となります。
あとは底辺の長さが分かればよいのですが、そのためには底辺の(0,5)でないほうの端点、すなわち2点(3,1)(6,12)を通る直線とy軸との交点の座標を求める必要があります。

 2点(3,1)(6,12)を通る直線の方程式を求めます。
直線の方程式はy=ax+ba,b:定数)で表されます。
直線は(3,1)を通るのでx=3,y=1を代入すると
1=3a+b
が成り立ちます。
また、直線は(6,12)を通るのでx=6,y=12を代入すると
12=6a+b
が成り立ちます。
(a),(b)を連立して解きます。
(b)(a)より
32=9aa=16
(a)(c)を代入すると
1=3×16+bb=12
したがって、点(3,1)(6,12)を通る直線の方程式はy=16x12であるとわかります。
この直線とy軸の交点はy切片なので、その座標は(0,12)です。
 底辺の長さは両端の座標(0,5),(0,12)よりx座標が等しいのでy座標の差より求められ
5(12)=112
であるとわかります。

 以上より青い三角形の面積は
12×112×3=334
緑の三角形の面積は
12×112×6=332
となるので、(0,5),(6,12),(3,1)の3点を頂点とする三角形の面積は
334+332=334+664=994
と求められます。

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