1次関数と反比例のグラフと三角形の面積

「上図は1次関数$y=2x+5$と反比例$y=\dfrac{a}{x}$のグラフである。
$y=\dfrac{a}{x}$のグラフは$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、2つのグラフは$x=-3$で交わる。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$a$の値を求めよ。

(2)$x=-3$における交点の座標を求めよ。

(3)$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$と$(2)$で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。」

(1)$a$の値

　グラフというのは$y=2x+5$や$y=\dfrac{a}{x}$といった関数を成り立たせる$x,y$の組を座標にもつ点の集まりのことです。

例えば1次関数$y=2x+5$の場合

$x$に$-2$を代入すると$y=2×(-2)+5=1$
$x$に$-1$を代入すると$y=2×(-1)+5=3$
$x$に$0$を代入すると$y=2×0+5=5$
$x$に$1$を代入すると$y=2×1+5=7$
$x$に$2$を代入すると$y=2×2+5=9$

というように$x$に何らかの数を代入すると、それぞれ$y$の値が求まります。
この$x$と$y$の組は$y=2x+5$を等式として成り立たせることができる数の組です。
この2数の組$x,y$を座標とする点を打っていくと最終的にできあがるのが$y=2x+5$のグラフとなります。
同様に$y=\dfrac{a}{x}$のグラフも$y=\dfrac{a}{x}$を成り立たせることができる2数の組を座標とする点が集まってできています。

　$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$は$y=\dfrac{a}{x}$のグラフ上の点なので、$y=\dfrac{a}{x}$に$x=6,y=\dfrac{1}{2}$を代入した

\[\frac{1}{2}=\frac{a}{6}\]

は等式として成り立っています。これを$a$について解けば適切な$a$の値を求めることができます。

両辺に$6$を掛けると

\begin{align*}\frac{1}{2}\times 6&=\frac{a}{6}\times 6\\[0.5em]3&=a\\[0.5em]a&=3\end{align*}

と求まります。

(2)$x=-3$における交点の座標

　2つのグラフが$x=-3$で交わるということは$y=2x+5$のグラフ上の$x=-3$における点と$y=\dfrac{3}{x}$のグラフの$x=-3$における点が同じであるということです。

したがって、2通りの解き方があります。

1. $y=2x+5$から求める

　$y=2x+5$に$x=-3$を代入すると$y$の値は

\begin{align*}y&=2\times(-3)+5\\[0.5em]&=-6+5\\[0.5em]&=-1\end{align*}

となります。

$x=-3,y=-1$は$y=2x+5$を等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると$(-3,-1)$となります。

これが$y=2x+5$のグラフ上の$x=-3$における点の座標となります。

2. $y=\dfrac{3}{x}$から求める

　$y=\dfrac{3}{x}$に$x=-3$を代入すると

\begin{align*}b&=\frac{3}{-3}\\[0.5em]&=\frac{3\times(-1)}{-3\times(-1)}\\[0.5em]&=\frac{-3}{3}\\[0.5em]&=-1\end{align*}

となります。

$x=-3,y=-1$は$y=\dfrac{3}{x}$を等式として成り立たせることができる数の組で、これを座標にすると$(-3,-1)$となります。

これが$y=\dfrac{3}{x}$のグラフ上の$x=-3$における点の座標となります。

(3)$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$と$(2)$で求めた点の3点を頂点とする三角形の面積

　$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$と$(2)$で求めた$(-3,-1)$の3点を頂点とする三角形は上図のようになります。この三角形はy軸で分割すると2つの三角形ができます。

分割してできたそれぞれの三角形の面積を求め、合計すれば求めたい三角形の面積がわかります。

y軸上にある辺を底辺とすると頂点$(-3,-1),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$からy軸へおろした垂線の長さがそれぞれの三角形の高さとなります。
これら垂線はx軸に平行でy軸上の点のx座標はすべて$0$なので、垂線の長さは頂点$(-3,-1),\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$それぞれのx座標の絶対値となります。

したがって、$(-3,-1)$を頂点にもつ三角形（上図の青い三角形）の高さは$|-3|=3$、$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を頂点にもつ三角形（上図の緑の三角形）の高さは$|6|=6$となります。
あとは底辺の長さが分かればよいのですが、そのためには底辺の$(0,5)$でないほうの端点、すなわち2点$(-3,-1)$と$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通る直線とy軸との交点の座標を求める必要があります。

　2点$(-3,-1)$と$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通る直線の方程式を求めます。

直線の方程式は$y=ax+b$（$a,b:$定数）で表されます。

直線は$(-3,-1)$を通るので$x=-3,y=-1$を代入すると

\begin{equation}-1=-3a+b\end{equation}

が成り立ちます。

また、直線は$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通るので$x=6,y=\dfrac{1}{2}$を代入すると

\begin{equation}\frac{1}{2}=6a+b\end{equation}

が成り立ちます。

$(1),(2)$を連立して解きます。

$(2)-(1)$より

\begin{align*}\frac{3}{2}&=9a\\[0.5em]a&=\frac{1}{6}\tag3\end{align*}

$(1)$に$(3)$を代入すると

\begin{align*}-1&=-3\times\frac{1}{6}+b\\[0.5em]b&=-\frac{1}{2}\end{align*}

したがって、点$(-3,-1)$と$\left(6,\dfrac{1}{2}\right)$を通る直線の方程式は$y=\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{2}$であるとわかります。
この直線とy軸の交点はy切片なので、その座標は$\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$です。

　底辺の長さは両端の座標$(0,5),\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$よりx座標が等しいのでy座標の差より求められ

\[5-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{2}\]

であるとわかります。

　以上より青い三角形の面積は

\[\frac{1}{2}\times\frac{11}{2}\times3=\frac{33}{4}\]

緑の三角形の面積は

\[\frac{1}{2}\times\frac{11}{2}\times6=\frac{33}{2}\]

となるので、$(0,5),\left(6,\dfrac{1}{2}\right),(-3,-1)$の3点を頂点とする三角形の面積は

\begin{align*}\frac{33}{4}+\frac{33}{2}&=\frac{33}{4}+\frac{66}{4}\\[0.5em]&=\frac{99}{4}\end{align*}

と求められます。

関連：2次関数の頂点と1次関数との交点でできる三角形の面積