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2023年10月9日

中点連結定理の逆は成り立つ?

 中点連結定理は三角形のものと台形のものがありますが、それぞれの定理の逆は成り立つでしょうか?


三角形の中点連結定理の逆

三角形の中点連結定理
 三角形の中点連結定理とは
ABCABCの2辺AB, ACAB, ACそれぞれの中点M, NM, Nを結んだ線分MNMNは辺BCBCと平行でその辺の長さの半分の長さをもつ」
という定理です。
これは以下のように書き換えることができます。
ABCABCの辺ABAB上の点MMと辺ACAC上の点NNについて、点M, NM, Nが各辺の中点ならば線分MNMNは辺BCBCと平行でその辺との長さの関係はBC=2MNBC=2MNである。」

すると、三角形の中点連結定理の逆は
ABCABCの辺ABAB上の点MMと辺ACAC上の点NNについて、辺BCBCと平行でその辺との長さの関係がBC=2MNBC=2MNならば、点M, NM, Nはそれぞれ辺AB, ACAB, ACの中点である。」
となります。
これが成り立つことを確かめます。

三角形の中点連結定理の逆 証明1
 線分MNMNNNの側を延長し、MN=NDMN=NDとなるように点DDをとります。
したがって、MD=BCMD=BCです。
四角形BCDMBCDMに着目するとBC//MD, BC=MDBC//MD, BC=MDより1組の対辺が平行、かつ長さが等しいので平行四辺形であることがわかります。
このことから
BM//CDBM=CDBM//CDBM=CD(1)(2)
が成り立ちます。
三角形の中点連結定理の逆 証明2
 AMNAMNCDNCDNに着目すると
上記よりMN=DNMN=DN
対頂角は等しいのでANM=CNDANM=CND
(1)(1)より錯角は等しいのでAMN=CDNAMN=CDN
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同であることがわかります。
このことから
AM=CDAN=CNAM=CDAN=CN(3)(4)
です。
(2),(3)(2),(3)より
AM=BMAM=BM(5)
(4),(5)(4),(5)より2点M, NM, Nはそれぞれ辺AB, ACAB, ACの中点であることがわかるので、三角形の中点連結定理の逆が成り立つことがわかります。

台形の中点連結定理の逆

台形の中点連結定理
 台形の中点連結定理とは
AB//CDAB//CDである台形ABCDABCDの平行でない対辺AD, BCAD, BCそれぞれの中点M, NM, Nを結んだ線分MNMNは辺AB, CDAB, CDに平行で、その長さはAB+CD2AB+CD2である。」
という定理です。
これは以下のように書き換えることができます。
AB//CDAB//CDである台形ABCDABCDの平行でない対辺AD, BCAD, BCのそれぞれに端点M, NM, Nをもつ線分MNMNについて、端点が各辺の中点ならば線分MNMNは辺AB, CDAB, CDに平行でその長さはMN=AB+CD2MN=AB+CD2である。」

すると、台形の中点連結定理の逆は
AB//CDAB//CDである台形ABCDABCDの平行でない対辺AD, BCAD, BCのそれぞれに端点M, NM, Nをもつ線分MNMNについて、辺AB, CDAB, CDに平行でその長さはMN=AB+CD2MN=AB+CD2ならば2点M, NM, Nはそれぞれ辺AD, BCAD, BCの中点である。」
となります。
これが成り立つことを確かめます。

台形の中点連結定理の逆 証明1
 台形ABCDABCDの上底ABABの長さをaa、下底CDCDの長さをbbとする(a<ba<bとします)と、線分MNMNの長さはa+b2a+b2となります。
台形の中点連結定理の逆 証明2
ADADに平行で点BBを通る直線を引き、線分MNMNとの交点をE、辺CDとの交点をFとします。
四角形ABEM, MEFDに着目すると、AB//ME//DFかつAD//BFより2組の対辺がそれぞれ平行なので、すべて平行四辺形であることがわかります。
このことから
AB=ME=DF=aAM=BEMD=EF
です。
(6)より
EN=MN-ME=a+b2a=ba2CF=CD-DF=ba
です。
ここでBCFに着目するとCF//EN, CF=2ENより三角形の中点連結定理の逆より
BN=CNBE=EF
が成り立ちます。
また、(7),(8),(10)より
AM=DM
であることがわかります。

(9),(11)より点M, Nはそれぞれ辺AD, BCの中点であることがわかり、台形の中点連結定理の逆が成り立つことがわかります。


 以上より三角形と台形、どちらの中点連結定理の逆も成り立つことを確かめることができました。

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