三角形と台形の中点連結定理

　中点連結定理とは、上図のように$△ABC$の2辺$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$とすると

\[\large BC//MN,BC=2MN\]

が成り立つという定理です。

なぜこれが成り立つのでしょうか？確かめてみます。

　$△ABC$と合同な$△A'B'C'$をつくり、辺$A'B'$の中点を$M'$、辺$A'C'$の中点を$N'$とします。
$△A'B'C'$を$180°$回転させ、辺$AB$と辺$A'B'$を重ねて四角形$AC’BC$をつくります。

このとき$AM=BM=A'M'=B'M'$なので点$M$と$M'$は重なり、3点$M,N,N'$は同一直線上にあります。$MN=M'N'$より

\begin{equation}NN'=2MN\end{equation}

が成り立ちます。

また、このように合同な三角形2つを組み合わせてできる四角形は平行四辺形なので、四角形$AC'BC$は平行四辺形です。このことから

\begin{equation}AC//BC'\end{equation}

であることがわかります。

ここで四角形$BCNN'$に着目すると、$(2)$と$CN=BN'$より1組の対辺が平行、かつ長さが等しいことから平行四辺形であることがわかります。このことから

\begin{equation}BC//NN',BC=NN'\end{equation}

です。

したがって、$(1),(3)$より$BC//MN,BC=2MN$であることがわかり、中点連結定理が成り立つことがわかります。

台形の中点連結定理

　台形にも中点連結定理があります。

上図のように$AB//CD$である台形$ABCD$の$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とすると

\[AB//MN//CD,MN=\frac{AB+CD}{2}\]

が成り立ちます。

こちらも成り立つことを確かめてみます。

　台形$ABCD$に半直線$AN$を引き、$CD$の延長との交点を$E$とします。

$△ABN$と$△ECN$に着目します。
$N$は$BC$の中点なので$BN=CN$です。
$AB//CD$より錯角は等しいので$∠ABN=∠ECN$です。
対頂角なので$∠ANB=∠ENC$です。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので$△ABN$と$△ECN$は合同であり、$AN=EN,AB=CE$であることがわかります。

　次に$△ABE$に着目すると$M,N$はそれぞれ$AD,AE$の中点となるので、三角形の中点連結定理より$DE//MN,MN=\dfrac{1}{2}DE$が成り立つことがわかります。

$AB//CD$かつ$DE//MN$より$AB//MN//CD$となります。
$AB=CE$より$DE=CD+CE=AB+CD$なので、

\begin{align*}MN&=\frac{1}{2}DE\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(AB+CD)\\[0.5em]&=\frac{AB+CD}{2}\end{align*}

となります。

したがって、台形の中点連結定理が成り立つことがわかります。

関連：中点連結定理の逆は成り立つ？