三角形と台形の中点連結定理 ~ 数学について考えてみる

2023年2月19日

三角形と台形の中点連結定理

PLUMBAGO

　中点連結定理とは、上図のように

$△\text{ABC}$ の2辺

$\text{AB, AC}$ の中点をそれぞれ

$\text{M, N}$ とすると

$\large \text{BC}//\text{MN, BC}=2\text{MN}$

が成り立つという定理です。

なぜこれが成り立つのでしょうか？確かめてみます。

$△\text{ABC}$ と合同な

$△\text{A'B'C'}$ をつくり、辺

$\text{A'B'}$ の中点を

$\text{M'}$ 、辺

$\text{A'C'}$ の中点を

$\text{N'}$ とします。

$△\text{A'B'C'}$ を

$180°$ 回転させ、辺

$\text{AB}$ と辺

$\text{A'B'}$ を重ねて四角形

$\text{AC}’\text{BC}$ をつくります。

このとき

$\text{AM}=\text{BM}=\text{A'M'}=\text{B'M'}$ なので点

$\text{M}$ と

$\text{M'}$ は重なり、3点

$\text{M, N, N'}$ は同一直線上にあります。

$\text{MN}=\text{M'N'}$ より

$\begin{equation}\text{NN'}=2\text{MN}\end{equation}$

が成り立ちます。

また、このように合同な三角形2つを組み合わせてできる四角形は平行四辺形なので、四角形

$\text{AC'BC}$ は平行四辺形です。このことから

$\begin{equation}\text{AC}//\text{BC'}\end{equation}$

であることがわかります。

ここで四角形

$\text{BCNN'}$ に着目すると、

$(2)$ と

$\text{CN}=\text{BN'}$ より1組の対辺が平行、かつ長さが等しいことから平行四辺形であることがわかります。このことから

$\begin{equation}\text{BC}//\text{NN', BC}=\text{NN'}\end{equation}$

です。

したがって、 $(1), (3)$ より $\text{BC}//\text{MN, BC}=2\text{MN}$ であることがわかり、中点連結定理が成り立つことがわかります。

台形の中点連結定理

　台形にも中点連結定理があります。

上図のように

$\text{AB}//\text{CD}$ である台形

$\text{ABCD}$ の

$\text{AD, BC}$ の中点をそれぞれ

$\text{M, N}$ とすると

$\text{AB}//\text{MN}//\text{CD, MN}=\frac{\text{AB}+\text{CD}}{2}$

が成り立ちます。

こちらも成り立つことを確かめてみます。

　台形

$\text{ABCD}$ に半直線

$\text{AN}$ を引き、

$\text{CD}$ の延長との交点を

$\text{E}$ とします。

$△\text{ABN}$ と $△\text{ECN}$ に着目します。
$\text{N}$ は $\text{BC}$ の中点なので $\text{BN}=\text{CN}$ です。
$\text{AB}//\text{CD}$ より錯角は等しいので $∠\text{ABN}=∠\text{ECN}$ です。
対頂角なので $∠\text{ANB}=∠\text{ENC}$ です。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので $△\text{ABN}$ と $△\text{ECN}$ は合同であり、 $\text{AN}=\text{EN, AB}=\text{CE}$ であることがわかります。