整数係数の3次方程式の有理数解の候補 ~ 数学について考えてみる

2023年2月27日

整数係数の3次方程式の有理数解の候補

PLUMBAGO

　整数係数の3次方程式

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a, b, c, d : 整 数, a \neq 0)

$ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a,b,c,d:整数,a\neq0)$ の有理数解の候補は

(有 理 数 解) = \pm \frac{(d の 約 数)}{(a の 約 数)}

$(有理数解)=\pm\frac{\ (dの約数)\quad}{\ (aの約数)\quad}$

となります。

なぜこの式によって有理数解の候補を挙げることができるのでしょうか？

　整数係数の3次方程式

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ が有理数解

x = \frac{n}{m} (n, m : 互 い に 素 な 整 数)

$x=\dfrac{n}{m}\ (n,m:互いに素な整数)$ を持つと考えると

$\begin{equation}a\left(\frac{n}{m}\right)^3+b\left(\frac{n}{m}\right)^2+c\cdot\frac{n}{m}+d=0\end{equation}$

が成り立つので

$\begin{align*}a\cdot\frac{n^3}{m^3}+b\cdot\frac{n^2}{m^2}+c\cdot\frac{n}{m}+d&=0\\[0.5em]b\cdot\frac{n^2}{m^2}+c\cdot\frac{n}{m}+d&=-a\cdot\frac{n^3}{m^3}\\[0.5em]bmn^2+cm^2n+dm^3&=an^3\\[0.5em]m(bmn^2+cmn+dm^2)&=an^3\end{align*}$

と変形できます。

ここで左辺は

$m$ の倍数であること、

$m$ と

$n$ が互いに素だから

$m$ と

$n^3$ も互いに素であることから、

$a$ は

$m$ の倍数であるということになります。これは見方を変えれば

$m$ は

$a$ の約数ということです。

また、

$\begin{align*}a\cdot\frac{n^3}{m^3}+b\cdot\frac{n^2}{m^2}+c\cdot\frac{n}{m}+d&=0\\[0.5em]a\cdot\frac{n^3}{m^3}+b\cdot\frac{n^2}{m^2}+c\cdot\frac{n}{m}&=-d\\[0.5em]an^3+bmn^2+cm^2n&=-dm^3\\[0.5em]n(an^2+bmn+cm^2)&=-dm^3\end{align*}$

と変形することもできます。
ここで左辺は

$n$ の倍数であること、

$m$ と

$n$ が互いに素だから

$m^3$ と

$n$ も互いに素であることから、

$d$ は

$n$ の倍数であるということになります。これは

$n$ は

$d$ の約数ということです。

　以上より有理数解 $x=\dfrac{n}{m}$ は
$\frac{n}{m}=\pm\frac{\ (dの約数)\quad}{\ (aの約数)\quad}$
を満たすことがわかります。
有理数解に正負両方の場合があるのは、 $a,d$ の約数は正の約数だけでなく負の約数も含むためです。
$a,d$ の約数が互いに異符号であるとき有理数解は負に、同符号であるとき有理数解は正となります。