整数係数の3次方程式ax3+bx2+cx+d=0 (a,b,c,d:整数,a≠0)ax3+bx2+cx+d=0 (a,b,c,d:整数,a≠0)の有理数解の候補は
(有理数解)=± (dの約数) (aの約数)(有理数解)=± (dの約数) (aの約数)
となります。
なぜこの式によって有理数解の候補を挙げることができるのでしょうか？
整数係数の3次方程式ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0が有理数解x=nm (n,m:互いに素な整数)x=nm (n,m:互いに素な整数)を持つと考えると
a(nm)3+b(nm)2+c⋅nm+d=0a(nm)3+b(nm)2+c⋅nm+d=0(1)
が成り立つので
a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm+d=0b⋅n2m2+c⋅nm+d=−a⋅n3m3bmn2+cm2n+dm3=an3m(bmn2+cmn+dm2)=an3a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm+d=0b⋅n2m2+c⋅nm+d=−a⋅n3m3bmn2+cm2n+dm3=an3m(bmn2+cmn+dm2)=an3
と変形できます。
ここで左辺はmmの倍数であること、mmとnnが互いに素だからmmとn3n3も互いに素であることから、aaはmmの倍数であるということになります。これは見方を変えればmmはaaの約数ということです。
また、
ここで左辺はnnの倍数であること、mmとnnが互いに素だからm3m3とnnも互いに素であることから、ddはnnの倍数であるということになります。これはnnはddの約数ということです。
a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm+d=0a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm=−dan3+bmn2+cm2n=−dm3n(an2+bmn+cm2)=−dm3a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm+d=0a⋅n3m3+b⋅n2m2+c⋅nm=−dan3+bmn2+cm2n=−dm3n(an2+bmn+cm2)=−dm3
と変形することもできます。ここで左辺はnnの倍数であること、mmとnnが互いに素だからm3m3とnnも互いに素であることから、ddはnnの倍数であるということになります。これはnnはddの約数ということです。
以上より有理数解x=nmx=nmは
nm=± (dの約数) (aの約数)nm=± (dの約数) (aの約数)
を満たすことがわかります。
有理数解に正負両方の場合があるのは、a,da,dの約数は正の約数だけでなく負の約数も含むためです。
a,da,dの約数が互いに異符号であるとき有理数解は負に、同符号であるとき有理数解は正となります。
外部リンク：有理根定理 - Wikipedia
Share:
