2023!と100^2023はどちらのほうが大きい？（2つの数の大小比較）

「$2023!$と$100^{2023}$はどちらのほうが大きいか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　$2023!$は$1$から$2023$までの整数をすべて掛け合わせた数です。$100^{2023}$の$100$を2023個掛け合わせた数と比べると複雑なので、もう少し簡単な数を用意して比較します。
$1$から$2023$までの整数のうち1桁の整数を$1$、2桁の整数を$10$、3桁の整数を$100$、4桁の整数を$1000$に置き換えます。
1桁の整数は9個、2桁の整数は90個、3桁の整数は900個、4桁の整数は1024個なので、$1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}$となります。
これは$2023!$と同じ個数の因数を持ちますが、$2023!$のものより小さい因数ばかりが掛け合わされているので$2023!>1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}$であるとわかります。

さらに指数の計算法則を利用して簡単な形に書き換えると
\begin{align*}&1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}\\ \\ =&10^{90}\times\left(10^2\right)^{900}\times\left(10^3\right)^{1024}\\ \\ =&10^{90}\times10^{1800}\times10^{3072}\\ \\ =&10^{4962}\end{align*}
となります。

関連：指数の計算法則

　次に$100^{2023}$を指数の計算法則を利用して書き換えると
\begin{align*}100^{2023}&=\left(10^2\right)^{2023}\\ \\ &=10^{4046}\end{align*}
となります。

底を揃えたとき指数が大きい方が値も大きいので$10^{4962}>10^{4046}=100^{2023}$であるとわかります。

このことから$2023!>10^{4962}>100^{2023}$なので、$2023!$と$100^{2023}$では$2023!$のほうが大きいことがわかります。