「2023!と100^{2023}はどちらのほうが大きいか？」
2023!は1から2023までの整数をすべて掛け合わせた数です。100^{2023}の100を2023個掛け合わせた数と比べると複雑なので、もう少し簡単な数を用意して比較します。
1から2023までの整数のうち1桁の整数を1、2桁の整数を10、3桁の整数を100、4桁の整数を1000に置き換えます。
1桁の整数は9個、2桁の整数は90個、3桁の整数は900個、4桁の整数は1024個なので、1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}となります。
これは2023!と同じ個数の因数を持ちますが、2023!のものより小さい因数ばかりが掛け合わされているので2023!>1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}であるとわかります。
さらに指数の計算法則を利用して簡単な形に書き換えると
\begin{align*}&1^9\times10^{90}\times100^{900}\times1000^{1024}\\ \\ =&10^{90}\times\left(10^2\right)^{900}\times\left(10^3\right)^{1024}\\ \\ =&10^{90}\times10^{1800}\times10^{3072}\\ \\ =&10^{4962}\end{align*}
となります。
関連：指数の計算法則
次に100^{2023}を指数の計算法則を利用して書き換えると
\begin{align*}100^{2023}&=\left(10^2\right)^{2023}\\ \\ &=10^{4046}\end{align*}
となります。
