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2023年2月2日

2023!と100^2023はどちらのほうが大きい?(2つの数の大小比較)

2023!1002023はどちらのほうが大きいか?」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?

 2023!1から2023までの整数をすべて掛け合わせた数です。1002023100を2023個掛け合わせた数と比べると複雑なので、もう少し簡単な数を用意して比較します。
1から2023までの整数のうち1桁の整数を1、2桁の整数を10、3桁の整数を100、4桁の整数を1000に置き換えます。
1桁の整数は9個、2桁の整数は90個、3桁の整数は900個、4桁の整数は1024個なので、19×1090×100900×10001024となります。
これは2023!と同じ個数の因数を持ちますが、2023!のものより小さい因数ばかりが掛け合わされているので2023!>19×1090×100900×10001024であるとわかります。

さらに指数の計算法則を利用して簡単な形に書き換えると
19×1090×100900×10001024=1090×(102)900×(103)1024=1090×101800×103072=104962
となります。

関連:指数の計算法則

 次に1002023を指数の計算法則を利用して書き換えると
1002023=(102)2023=104046
となります。

底を揃えたとき指数が大きい方が値も大きいので104962>104046=1002023であるとわかります。
このことから2023!>104962>1002023なので、2023!1002023では2023!のほうが大きいことがわかります。
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