正の数$a,b$について$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$は成り立つでしょうか？また、その逆は成り立つでしょうか？
$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$
$a<b$を以下のように変形します。
\[b-a>0\]
ここで、$a,b$はそれぞれの正の平方根をもちいて$a=(\sqrt{a})^2,b=(\sqrt{b})^2$と書けるので
\[(\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2>0\]
因数分解公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$より
\[(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}-\sqrt{a})>0\]
$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$より$\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$なので両辺を$\sqrt{b}+\sqrt{a}$で割ると
\[\sqrt{b}-\sqrt{a}>0\]
ゆえに
\[\large\sqrt{a}<\sqrt{b}\]
なので、命題「$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$」は真であることがわかります。
ちなみに正の平方根に限定せず$a,b$それぞれの平方根をどのような組み合わせでもちいたとしても同様に$\sqrt{a}<\sqrt{b}$が導かれます。
$a$を正の平方根、$b$を負の平方根で表すと
$a=(\sqrt{a})^2,b=(-\sqrt{b})^2$と書けるので
\[(-\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2>0\]
因数分解公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$より
\begin{align*}(-\sqrt{b}+\sqrt{a})(-\sqrt{b}-\sqrt{a})&>0\\[0.5em]\left\{-(\sqrt{b}-\sqrt{a})\right\}\left\{-(\sqrt{b}+\sqrt{a})\right\}&>0\\[0.5em](\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})&>0\end{align*}
$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$より$\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$なので両辺を$\sqrt{b}+\sqrt{a}$で割ると
\[\sqrt{b}-\sqrt{a}>0\]
ゆえに
\[\sqrt{a}<\sqrt{b}\]
$a$を負の平方根、$b$を正の平方根で表すと
$a=(-\sqrt{a})^2,b=(\sqrt{b})^2$と書けるので
\[(\sqrt{b})^2-(-\sqrt{a})^2>0\]
因数分解公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$より
\begin{align*}\left\{\sqrt{b}+(-\sqrt{a})\right\}\left\{\sqrt{b}-(-\sqrt{a})\right\}&>0\\[0.5em](\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})&>0\end{align*}
$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$より$\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$なので両辺を$\sqrt{b}+\sqrt{a}$で割ると
\[\sqrt{b}-\sqrt{a}>0\]
ゆえに
\[\sqrt{a}<\sqrt{b}\]
$a,b$ともに負の平方根で表すと
$a=(-\sqrt{a})^2,b=(-\sqrt{b})^2$と書けるので
\[(-\sqrt{b})^2-(-\sqrt{a})^2>0\]
因数分解公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$より
\begin{align*}\left\{(-\sqrt{b})+(-\sqrt{a})\right\}\left\{(-\sqrt{b})-(-\sqrt{a})\right\}&>0\\[0.5em](-\sqrt{b}-\sqrt{a})(-\sqrt{b}+\sqrt{a})&>0\\[0.5em]\left\{-(\sqrt{b}+\sqrt{a})\right\}\left\{-(\sqrt{b}-\sqrt{a})\right\}&>0\\[0.5em](\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})&>0\end{align*}
$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$より$\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$なので両辺を$\sqrt{b}+\sqrt{a}$で割ると
\[\sqrt{b}-\sqrt{a}>0\]
ゆえに
\[\sqrt{a}<\sqrt{b}\]
$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ならば$a<b$
命題「$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$」の逆は「$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ならば$a<b$」です。これが真であるかを調べます。
これは上述の「$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$」が真であるかを調べた手順を逆にたどるようにすれば調べることができます。
すなわち、
$\sqrt{a}<\sqrt{b}$を変形すると
というような手順です。
\[\sqrt{b}-\sqrt{a}>0\]
両辺に$\sqrt{b}+\sqrt{a}$を掛けます。$\sqrt{a}>0,\sqrt{b}>0$より$\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$なので
\begin{align*}(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}-\sqrt{a})&>0\\[0.5em](\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2&>0\\[0.5em]b-a&>0\end{align*}
ゆえに
\[a<b\]
このように命題「$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ならば$a<b$」が真であることを知ることができますが、他の方法でも確かめてみます。
$\sqrt{a}<\sqrt{b}$の両辺に$\sqrt{a}$を掛けます。$a$は正の実数より$\sqrt{a}>0$なので
\begin{align*}(\sqrt{a})^2&<\sqrt{a}\sqrt{b}\\[0.5em]\therefore
a&<\sqrt{ab}\tag1\end{align*}
また、$\sqrt{a}<\sqrt{b}$の両辺に$\sqrt{b}$を掛けます。$\sqrt{b}>0$なので
\begin{align*}\sqrt{a}\sqrt{b}&<(\sqrt{b})\\[0.5em]\therefore\sqrt{ab}&\large<b\tag2\end{align*}
$(1),(2)$より
\[\large a<b\]
となるので、命題「$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ならば$a<b$」は真であることがわかります。
以上より命題「$a<b$ならば$\sqrt{a}<\sqrt{b}$」とその逆「$\sqrt{a}<\sqrt{b}$ならば$a<b$」はともに真なので、$a<b$と$\sqrt{a}<\sqrt{b}$は同値であることがわかります。
また、$a,b$のとる値の範囲を非負実数に拡張しても同値となりますが、実数にまで拡張してしまうと$a,b$のいずれかが負の数のとき$\sqrt{a},\sqrt{b}$のいずれかが大小比較できない虚数となって平方根のほうの不等式が成立しなくなるので同値でなくなります。
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