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2024年2月14日

長方形の各頂点と任意の点を結ぶ線分の長さの関係

 長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか?


 長方形ABCDABCDと任意の点PPを考え、点PPの位置を3つの場合に分けて考えます。

PPが長方形の内部にある場合

点Pが長方形ABCDの内部にある場合
 点PPから長方形の各辺へ垂線をおろし、辺AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DAとの交点をそれぞれE,F,G,HE,F,G,Hとします。
このとき四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHAEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、AE=a1,BE=a2,AE=a1,BE=a2,BF=b1,CF=b2BF=b1,CF=b2とおくと長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a1,CG=FP=a2,HP=a1,CG=FP=a2,EP=b1,DH=GP=b2EP=b1,DH=GP=b2となることがわかります。
線分APAPは長方形AEPHAEPHの対角線でありAEPAEPは直角三角形なので三平方の定理より
AP2=AE2+EP2=a12+b12AP2=AE2+EP2=a12+b12(1)
線分BPBPは長方形BEPFBEPFの対角線でありBFPBFPは直角三角形なので
BP2=FP2+BF2=a22+b12BP2=FP2+BF2=a22+b12(2)
線分CPCPは長方形CFPGCFPGの対角線でありCGPCGPは直角三角形なので
CP2=CG2+GP2=a22+b22CP2=CG2+GP2=a22+b22(3)
線分DPDPは長方形DGPHDGPHの対角線でありDHPDHPは直角三角形なので
DP2=HP2+DH2=a12+b22DP2=HP2+DH2=a12+b22(4)
となります。
(1)+(3)(1)+(3)より
AP2+CP2=a12+a22+b12+b22AP2+CP2=a12+a22+b12+b22
(2)+(4)(2)+(4)より
BP2+DP2=a12+a22+b12+b22BP2+DP2=a12+a22+b12+b22
なので
AP2+CP2=BP2+DP2AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。

PPが長方形の周上にある場合

 点PPが長方形ABCDABCDの周上にある場合はさらに2つの場合に分けることができます。

PPが頂点を除く辺上にある場合

点Pが長方形ABCDの辺上にある場合
 点A,BA,Bとは異なる辺ABAB上に点PPがある場合を考えます。
BC=bBC=bとおくと長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bDA=bとなります。
PPから対辺CDCDへ垂線をおろし、その足をQQとすると長方形ABCDABCDは長方形ADQPADQPと長方形BCQPBCQPができます。
長方形ADQPADQPにおいて線分APAPは辺の1つ、線分DPDPは対角線でありADPADPは直角三角形なので三平方の定理より
DP2=AP2+DA2=AP2+b2b2=DP2AP2DP2=AP2+DA2=AP2+b2b2=DP2AP2(5)
長方形BCQPBCQPにおいて線分BPBPは辺の1つ、線分CPCPは対角線でありBCPBCPは直角三角形なので
CP2=BP2+BC2=BP2+b2b2=CP2BP2CP2=BP2+BC2=BP2+b2b2=CP2BP2(6)
となります。
(5),(6)(5),(6)より
DP2AP2=CP2BP2AP2+CP2=BP2+DP2DP2AP2=CP2BP2AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。
PPが他の辺上にある場合も同様です。

PPが頂点と重なる場合

点Pが長方形ABCDの頂点上にある場合
 点PPが頂点AAと重なる場合を考えます。
このときAP=0AP=0であり、線分BP,DPBP,DPはそれぞれ辺AB,DAAB,DAと、線分CPCPは長方形ABCDABCDの対角線ACACと重なるためBP=AB,CP=AC,DP=DABP=AB,CP=AC,DP=DAとなります。
また、長方形の対辺の長さは等しいのでBC=DABC=DAよりDP=BCDP=BCです。
ABCABCは直角三角形なので三平方の定理より
AC2=AB2+BC2CP2=BP2+DP2AC2=AB2+BC2CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。
これはAP2+CP2=BP2+DP2AP2+CP2=BP2+DP2AP=0AP=0を代入したときの式と一致するため、この場合においてもAP2+CP2=BP2+DP2AP2+CP2=BP2+DP2を満たしていることがわかります。
PPが他の頂点と重なる場合も同様です。

PPが長方形の外部にある場合

 点PPが長方形の外部にある場合は大きく2つの場合に分けることができます。

PPがいずれかの辺の延長上にある場合

点Pが長方形ABCDの辺の延長上にある場合
 上図のように点PPが辺CDCDの延長上にある場合を考えます。
PPから辺CDCD以外の辺またはその延長に垂線をおろし、辺ABABの延長との交点をEEとします。なお、辺BCBCとの交点は点CC、辺DADAとの交点は点DDです。
BC=bBC=bとおくと、長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bDA=bとなります。
また、四角形ADPE,BCPEADPE,BCPEは長方形であることがわかります。
長方形ADPEADPEにおいて線分DPは辺の1つ、線分APは対角線でありADPは直角三角形なので三平方の定理より
AP2=DP2+AD2=DP2+b2b2=AP2DP2
長方形BCPEにおいて線分CPは辺の1つ、線分BPは対角線でありBCPは直角三角形なので
BP2=CP2+BC2=CP2+b2b2=BP2CP2
となります。
(7),(8)より
AP2DP2=BP2CP2AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。
Pが他の辺の延長上にある場合も同様です。

Pがどの辺の延長上にもない場合

 点Pがどの辺の延長上にもない場合はさらに細かく2つの場合に分けることができます。

Pが1組の対辺へ直接垂線を下ろせる場合

点Pが長方形ABCDの外部にあって1組の対辺に直接垂線を下ろせる場合
 上図のように点Pが長方形ABCDの外部かつ辺BC,DAに直接垂線を下ろせる位置にある場合を考えます。
Pから各辺またはその延長に垂線をおろし、辺AB,CDの延長との交点をそれぞれE,G、辺BC,DAとの交点をF,Hをします。
ABの長さをAB=a、その延長部分AEの長さをAE=aとおくとBE=a+aとなります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DHPGは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでFP=a+a,HP=a,AH=b,DH=bとなります。
線分APは長方形AEPHの対角線でAHPは直角三角形なので三平方の定理より
AP2=HP2+AH2=a2+b12
線分BPは長方形BEPFの対角線でBFPは直角三角形なので
BP2=FP2+BF2=(a+a)2+b12
線分CPは長方形CFPGの対角線でCFPは直角三角形なので
CP2=FP2+CF2=(a+a)2+b22
線分DPは長方形DHPGの対角線でDHPは直角三角形なので
DP2=HP2+DH2=a2+b22
となります。
(9)+(11)より
AP2+CP2=(a+a)2+a2+b12+b22
(10)+(12)より
BP2+DP2=(a+a)2+a2+b12+b22
なので
AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立ちます。
これは点Pが長方形ABCDの外部かつ辺AB,CDに直接垂線を下ろせる位置にある場合も同様です。

Pがどの対辺の組へも直接垂線を下ろせない場合

点Pが長方形ABCDのどの対辺の組にも直接垂線を下ろせない場合
 点Pが上図の位置にある場合を考えます。
Pから長方形の各辺の延長へ垂線をおろし、辺AB,BC,CD,DAの延長との交点をそれぞれE,F,G,Hとします。
AB,BCとこれらの延長部分の長さについてAB=a,BC=b,AE=a,CF=bとおくとBE=a+a,BF=b+bとなります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a,FP=a+a,GP=b,EP=b+bとなることがわかります。
線分APは長方形AEPHの対角線でありAHPは直角三角形なので三平方の定理より
AP2=PH2+AH2=a2+(b+b)2
線分BPは長方形BEPFの対角線でありBFPは直角三角形なので
BP2=FP2+BF2=(a+a)2+(b+b)2
線分CPは長方形CFPGの対角線でありCFPは直角三角形なので
CP2=FP2+CF2=(a+a)2+b2
線分DPは長方形DGPHの対角線でありDHPは直角三角形なので
DP2=HP2+DH2=a2+b2
となります。
(13)+(15)より
AP2+CP2=(a+a)2+a2+(b+b)2+b2
(14)+(16)より
BP2+DP2=(a+a)2+a2+(b+b)2+b2
なので
AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。
これはこの場合を満たす他の位置に点Pがある場合も同様です。

以上より、点Pがどの位置にあっても長方形ABCDの各頂点と点Pを結ぶ線分について
AP2+CP2=BP2+DP2
が成り立つことがわかります。

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