長方形の各頂点と任意の点を結ぶ4本の線分の長さにはどのような関係があるでしょうか?
長方形ABCDと任意の点Pを考え、点Pの位置を3つの場合に分けて考えます。
点Pが長方形の内部にある場合
点Pから長方形の各辺へ垂線をおろし、辺AB,BC,CD,DAとの交点をそれぞれE,F,G,Hとします。
このとき四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、AE=a_1,BE=a_2,BF=b_1,CF=b_2とおくと長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a_1,CG=FP=a_2,EP=b_1,DH=GP=b_2となることがわかります。
このとき四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、AE=a_1,BE=a_2,BF=b_1,CF=b_2とおくと長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a_1,CG=FP=a_2,EP=b_1,DH=GP=b_2となることがわかります。
線分APは長方形AEPHの対角線であり△AEPは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}AP^2&=AE^2+EP^2\\[0.5em]&={a_1}^2+{b_1}^2\tag1\end{align*}
線分BPは長方形BEPFの対角線であり△BFPは直角三角形なので
\begin{align*}BP^2&=FP^2+BF^2\\[0.5em]&={a_2}^2+{b_1}^2\tag2\end{align*}
線分CPは長方形CFPGの対角線であり△CGPは直角三角形なので
\begin{align*}CP^2&=CG^2+GP^2\\[0.5em]&={a_2}^2+{b_2}^2\tag3\end{align*}
線分DPは長方形DGPHの対角線であり△DHPは直角三角形なので
\begin{align*}DP^2&=HP^2+DH^2\\[0.5em]&={a_1}^2+{b_2}^2\tag4\end{align*}
となります。
(1)+(3)より
AP^2+CP^2={a_1}^2+{a_2}^2+{b_1}^2+{b_2}^2
(2)+(4)より
BP^2+DP^2={a_1}^2+{a_2}^2+{b_1}^2+{b_2}^2
なので
\large AP^2+CP^2=BP^2+DP^2
が成り立つことがわかります。
点Pが長方形の周上にある場合
点Pが長方形ABCDの周上にある場合はさらに2つの場合に分けることができます。
点Pが頂点を除く辺上にある場合
点A,Bとは異なる辺AB上に点Pがある場合を考えます。
BC=bとおくと長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bとなります。
点Pから対辺CDへ垂線をおろし、その足をQとすると長方形ABCDは長方形ADQPと長方形BCQPができます。
BC=bとおくと長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bとなります。
点Pから対辺CDへ垂線をおろし、その足をQとすると長方形ABCDは長方形ADQPと長方形BCQPができます。
長方形ADQPにおいて線分APは辺の1つ、線分DPは対角線であり△ADPは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}DP^2&=AP^2+DA^2\\[0.5em]&=AP^2+b^2\\[0.5em]\therefore
b^2&=DP^2-AP^2\tag5\end{align*}
長方形BCQPにおいて線分BPは辺の1つ、線分CPは対角線であり△BCPは直角三角形なので
\begin{align*}CP^2&=BP^2+BC^2\\[0.5em]&=BP^2+b^2\\[0.5em]\therefore
b^2&=CP^2-BP^2\tag6\end{align*}
となります。
(5),(6)より
\begin{align*}DP^2-AP^2&=CP^2-BP^2\\[0.5em]\therefore\large
AP^2+CP^2&\large=BP^2+DP^2\end{align*}
が成り立つことがわかります。
点Pが他の辺上にある場合も同様です。
点Pが頂点と重なる場合
点Pが頂点Aと重なる場合を考えます。
このときAP=0であり、線分BP,DPはそれぞれ辺AB,DAと、線分CPは長方形ABCDの対角線ACと重なるためBP=AB,CP=AC,DP=DAとなります。
また、長方形の対辺の長さは等しいのでBC=DAよりDP=BCです。
このときAP=0であり、線分BP,DPはそれぞれ辺AB,DAと、線分CPは長方形ABCDの対角線ACと重なるためBP=AB,CP=AC,DP=DAとなります。
また、長方形の対辺の長さは等しいのでBC=DAよりDP=BCです。
△ABCは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}AC^2&=AB^2+BC^2\\[0.5em]\therefore\large
CP^2&\large=BP^2+DP^2\end{align*}
が成り立つことがわかります。
これはAP^2+CP^2=BP^2+DP^2にAP=0を代入したときの式と一致するため、この場合においてもAP^2+CP^2=BP^2+DP^2を満たしていることがわかります。
点Pが他の頂点と重なる場合も同様です。
点Pが他の頂点と重なる場合も同様です。
点Pが長方形の外部にある場合
点Pが長方形の外部にある場合は大きく2つの場合に分けることができます。
点Pがいずれかの辺の延長上にある場合
上図のように点Pが辺CDの延長上にある場合を考えます。
点Pから辺CD以外の辺またはその延長に垂線をおろし、辺ABの延長との交点をEとします。なお、辺BCとの交点は点C、辺DAとの交点は点Dです。
BC=bとおくと、長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bとなります。
また、四角形ADPE,BCPEは長方形であることがわかります。
点Pから辺CD以外の辺またはその延長に垂線をおろし、辺ABの延長との交点をEとします。なお、辺BCとの交点は点C、辺DAとの交点は点Dです。
BC=bとおくと、長方形の対辺の長さは等しいのでDA=bとなります。
また、四角形ADPE,BCPEは長方形であることがわかります。
長方形ADPEにおいて線分DPは辺の1つ、線分APは対角線であり△ADPは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}AP^2&=DP^2+AD^2\\[0.5em]&=DP^2+b^2\\[0.5em]\therefore
b^2&=AP^2-DP^2\tag7\end{align*}
長方形BCPEにおいて線分CPは辺の1つ、線分BPは対角線であり△BCPは直角三角形なので
\begin{align*}BP^2&=CP^2+BC^2\\[0.5em]&=CP^2+b^2\\[0.5em]\therefore
b^2&=BP^2-CP^2\tag8\end{align*}
となります。
(7),(8)より
点Pが他の辺の延長上にある場合も同様です。
\begin{align*}AP^2-DP^2&=BP^2-CP^2\\[0.5em]\therefore\large
AP^2+CP^2&=BP^2+DP^2\end{align*}
が成り立つことがわかります。
点Pが他の辺の延長上にある場合も同様です。
点Pがどの辺の延長上にもない場合
点Pがどの辺の延長上にもない場合はさらに細かく2つの場合に分けることができます。
点Pが1組の対辺へ直接垂線を下ろせる場合
上図のように点Pが長方形ABCDの外部かつ辺BC,DAに直接垂線を下ろせる位置にある場合を考えます。
点Pから各辺またはその延長に垂線をおろし、辺AB,CDの延長との交点をそれぞれE,G、辺BC,DAとの交点をF,Hをします。
辺ABの長さをAB=a、その延長部分AEの長さをAE=a'とおくとBE=a+a'となります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DHPGは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでFP=a+a',HP=a',AH=b,DH=b'となります。
点Pから各辺またはその延長に垂線をおろし、辺AB,CDの延長との交点をそれぞれE,G、辺BC,DAとの交点をF,Hをします。
辺ABの長さをAB=a、その延長部分AEの長さをAE=a'とおくとBE=a+a'となります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DHPGは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでFP=a+a',HP=a',AH=b,DH=b'となります。
線分APは長方形AEPHの対角線で△AHPは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}AP^2&=HP^2+AH^2\\[0.5em]&={a'}^2+{b_1}^2\tag9\end{align*}
線分BPは長方形BEPFの対角線で△BFPは直角三角形なので
\begin{align*}BP^2&=FP^2+BF^2\\[0.5em]&=(a+a')^2+{b_1}^2\tag{10}\end{align*}
線分CPは長方形CFPGの対角線で△CFPは直角三角形なので
\begin{align*}CP^2&=FP^2+CF^2\\[0.5em]&=(a+a')^2+{b_2}^2\tag{11}\end{align*}
線分DPは長方形DHPGの対角線で△DHPは直角三角形なので
\begin{align*}DP^2&=HP^2+DH^2\\[0.5em]&={a'}^2+{b_2}^2\tag{12}\end{align*}
となります。
(9)+(11)より
これは点Pが長方形ABCDの外部かつ辺AB,CDに直接垂線を下ろせる位置にある場合も同様です。
AP^2+CP^2=(a+a')^2+{a'}^2+{b_1}^2+{b_2}^2
(10)+(12)より
BP^2+DP^2=(a+a')^2+{a'}^2+{b_1}^2+{b_2}^2
なので
\large AP^2+CP^2=BP^2+DP^2
が成り立ちます。
これは点Pが長方形ABCDの外部かつ辺AB,CDに直接垂線を下ろせる位置にある場合も同様です。
点Pがどの対辺の組へも直接垂線を下ろせない場合
点Pが上図の位置にある場合を考えます。
点Pから長方形の各辺の延長へ垂線をおろし、辺AB,BC,CD,DAの延長との交点をそれぞれE,F,G,Hとします。
辺AB,BCとこれらの延長部分の長さについてAB=a,BC=b,AE=a',CF=b'とおくとBE=a+a',BF=b+b'となります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a',FP=a+a',GP=b',EP=b+b'となることがわかります。
点Pから長方形の各辺の延長へ垂線をおろし、辺AB,BC,CD,DAの延長との交点をそれぞれE,F,G,Hとします。
辺AB,BCとこれらの延長部分の長さについてAB=a,BC=b,AE=a',CF=b'とおくとBE=a+a',BF=b+b'となります。
また、四角形AEPH,BEPF,CFPG,DGPHは長方形であり、長方形の対辺の長さは等しいのでHP=a',FP=a+a',GP=b',EP=b+b'となることがわかります。
線分APは長方形AEPHの対角線であり△AHPは直角三角形なので三平方の定理より
\begin{align*}AP^2&=PH^2+AH^2\\[0.5em]&={a'}^2+(b+b')^2\tag{13}\end{align*}
線分BPは長方形BEPFの対角線であり△BFPは直角三角形なので
\begin{align*}BP^2&=FP^2+BF^2\\[0.5em]&=(a+a')^2+(b+b')^2\tag{14}\end{align*}
線分CPは長方形CFPGの対角線であり△CFPは直角三角形なので
\begin{align*}CP^2&=FP^2+CF^2\\[0.5em]&=(a+a')^2+{b'}^2\tag{15}\end{align*}
線分DPは長方形DGPHの対角線であり△DHPは直角三角形なので
\begin{align*}DP^2&=HP^2+DH^2\\[0.5em]&={a'}^2+{b'}^2\tag{16}\end{align*}
となります。
(13)+(15)より
AP^2+CP^2=(a+a')^2+{a'}^2+(b+b')^2+{b'}^2
(14)+(16)より
BP^2+DP^2=(a+a')^2+{a'}^2+(b+b')^2+{b'}^2
なので
\large AP^2+CP^2=BP^2+DP^2
が成り立つことがわかります。
これはこの場合を満たす他の位置に点Pがある場合も同様です。
以上より、点Pがどの位置にあっても長方形ABCDの各頂点と点Pを結ぶ線分について
\large AP^2+CP^2=BP^2+DP^2
が成り立つことがわかります。
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