最大値や最小値が「ない」ときとはどのようなときなのでしょうか？
「上の関数の最大値と最小値を求めよ。」
まず、最大値と最小値の意味について確認します。
最大値とは「これより大きくなることがない限界となる値」、最小値とは「これより小さくなることがない限界となる値」のことです。
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| $y=-2x+5\quad(x<2)$のグラフ |
範囲に端がないとき
この例題の場合、$x$が小さくなると$y$は大きくなります。つまり、$x$が果てしなく小さくなれるということは$y$は果てしなく大きくなれるということなので、これが限界だといえる値がありません。
したがって、最大値はありません。
このように定義域に端がないと最大値や最小値が存在しないときがあります。2次関数の頂点のように関数自体に定義域の端以外で最大や最小となるような特徴がない限り最大値や最小値は存在しません。
定義域が等号なし不等号であるとき
定義域$x<2$には等号付きでない不等号が使われています。
等号付き不等号の$x\leqq2$が定義域の場合、$y=-2x+5$における最小値は$x=2$のときの$y=1$になるのですが、例題の定義域$x<2$には$x=2$が含まれていないため、最小となるときの$x$の値は$2$に限りなく近い$2$より小さい数となりそうです。
すると$x=1.99999\cdots$という小数点以下に$9$が無数に並ぶ数になりそうですが、ここで問題が起きます。
\[0.\dot{9}\cdots=1\]
というものがあります。小数点以下に$9$が無限に続く循環小数は$1$になるということですが、さきほどの$2$に限りなく近い数として考えた$1.99999\cdots$の小数部分の$9$が無限に続くのであれば$2$となってしまい定義域の$x<2$と矛盾してしまいます。
したがって$1.99999\cdots$の小数部分の$9$は無限に続かないことになります。
ということで、最小となるであろう$x$の値「$2$未満で$2$に最も近い小さい数とはなにか？」について考えます。
例えば、最小となる$x$の値は$1.\dot{9}$の小数点以下のどこかの桁を$8$に置き換えた数というものが考えられます。最も小さい桁を$8$に置き換えた数が最も$2$に近いといえるのですが、$1.\dot{9}$は小数点以下の桁が無限に続くので一番小さい桁がわかりません。
したがって、最小となるときの$x$、$2$に限りなく近い数がどんな数なのかを知ることができません。
今度は$1.99999\cdots$の小数部分の$9$は無限に続かないという点から「$9$が何桁続くのか？」というアプローチで考えてみます。言い換えると「1桁$9$を加えることで$1.\dot{9}$になる数はなにか？」です。
しかし、$1.\dot{9}$は$9$が無限に続くので、桁に限りのある数に1桁$9$を加えても$1.\dot{9}$になるはずはありません。
したがって、そんな数は存在しないことになります。
このように$x$の値がわからないと最小値となるであろう$y$の値もわからないので最小値を求めることができません。これは最大値だった場合でも同様となります。
