連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数なのか？ ~ 数学について考えてみる

2022年6月12日

連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数なのか？

PLUMBAGO

　連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数になるのでしょうか？

　連続する3つの整数の積が6の倍数になるのは3つの整数のうち2の倍数（偶数）と3の倍数がそれぞれ少なくとも1つでも含まれるときです。
なので、連続する3つの整数には必ず2の倍数と3の倍数が含まれることを確かめます。

\dots, \dot{0}, 1, \dot{2}, 3, \dot{4}, 5, \dot{6}, 7, \dots

$\large\cdots,\dot{0},1,\dot{2},3,\dot{4},5,\dot{6},7,\cdots$

連続する整数の中で2の倍数は2つごとに現れます。

\dots, \dot{0}, 1, 2, \dot{3}, 4, 5, \dot{6}, 7, \dots

$\large\cdots,\dot{0},1,2,\dot{3},4,5,\dot{6},7,\cdots$

また、連続する整数の中で3の倍数は3つごとに現れます。

したがって、どのように連続する3つの整数をとっても必ず1つは2の倍数と3の倍数が含まれるため連続する3つの整数の積は6の倍数となります。

　連続する整数の中で4の倍数は4つごと、5の倍数は5つごとに現れる、のように他の倍数についても同様のことが言え、連続する

n

$n$ 個の整数の中には連続する2個の整数から

n - 1

$n-1$ 個の整数までをも含んでいるため「連続する

n

$n$ 個の整数の積は

n!

$n!$ の倍数（

n, n - 1, \dots, 3, 2

$n,n-1,\cdots,3,2$ の公倍数）になる」ということができます。

　数式をもちいて以下のように確かめることができます。

連続する3つの整数のうち中央の整数に着目し、任意の整数

n

$n$ とその前後の整数の積

\begin{matrix} (a) & (n - 1) n (n + 1) = n^{3} - n \end{matrix}

$(n-1)n(n+1)=n^3-n\tag{a}$

を考え、これが6の倍数であることを確かめます。

ここで、すべての整数は2で割ったときの余りが $0,1$ のいずれかとなります。任意の2の倍数を $2k$ とすれば、余りが $1$ となる整数は $2k+1$ と書けます。
同様に、すべての整数は3で割ったときの余りが $0,1,2$ のいずれかとなります。任意の3の倍数を $3k$ とすれば、余りが $1$ 、余りが $2$ となる整数はそれぞれ $3k+1,\ 3k+2$ と書けます。
このことから $\text{(a)}$ の $n$ に $2k,2k+1$ をそれぞれ代入したときに2の倍数であることがわかれば、すべての整数に対して $\text{(a)}$ が2の倍数、 $3k,3k+1,3k+2$ をそれぞれ代入したときに3の倍数であることがわかれば、すべての整数に対して $\text{(a)}$ が3の倍数になることを示すことができ、 $\text{(a)}$ が2の倍数かつ3の倍数ならば $\text{(a)}$ は6の倍数となることがわかります。

連続する3つの整数の積は2の倍数か？

$n=2k$ のとき

\begin{aligned} (2 k)^{3} - 2 k & = 8 k^{3} - 2 k \\ = 2 k (2 k^{2} - 1) \end{aligned}

$\begin{align*}(2k)^3-2k&=8k^3-2k\\[0.5em]&=2k(2k^2-1)\end{align*}$

k (2 k^{2} - 1)

$k(2k^2-1)$ は整数なので

2 k (2 k^{2} - 1)

$2k(2k^2-1)$ は2の倍数であることがわかります。

$n=2k+1$ のとき

\begin{aligned} (2 k + 1)^{3} - (2 k + 1) & = 8 k^{3} + 6 k^{2} + 10 k \\ = 2 k (4 k^{2} + 3 k + 5) \end{aligned}

$\begin{align*}(2k+1)^3-(2k+1)&=8k^3+6k^2+10k\\[0.5em]&=2k(4k^2+3k+5)\end{align*}$

k (4 k^{2} + 3 k + 5)

$k(4k^2+3k+5)$ は整数なので

2 k (4 k^{2} + 3 k + 5)

$2k(4k^2+3k+5)$ は2の倍数であることがわかります。

したがって連続する3つの整数の積は2の倍数となることを示すことができました。

連続する3つの整数の積は3の倍数か？

$n=3k$ のとき

\begin{aligned} (3 k)^{3} - 3 k & = 27 k^{3} - 3 k \\ = 3 k (9 k^{2} - 1) \end{aligned}

$\begin{align*}(3k)^3-3k&=27k^3-3k\\[0.5em]&=3k(9k^2-1)\end{align*}$

k (9 k^{2} - 1)

$k(9k^2-1)$ は整数なので

3 k (9 k^{2} - 1)

$3k(9k^2-1)$ は3の倍数であることがわかります。

$n=3k+1$ のとき

\begin{aligned} (3 k + 1)^{3} - (3 k + 1) & = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 6 k \\ = 3 k (9 k^{2} + 9 k + 2) \end{aligned}

$\begin{align*}(3k+1)^3-(3k+1)&=27k^3+27k^2+6k\\[0.5em]&=3k(9k^2+9k+2)\end{align*}$

k (9 k^{2} + 9 k + 2)

$k(9k^2+9k+2)$ は整数なので

3 k (9 k^{2} + 9 k + 2)

$3k(9k^2+9k+2)$ は3の倍数であることがわかります。

$n=3k+2$ のとき

\begin{aligned} (3 k + 2)^{3} - (3 k + 2) & = 27 k^{3} + 54 k^{2} + 33 k + 6 \\ = 3 (9 k^{3} + 18 k^{2} + 11 k + 2) \end{aligned}

$\begin{align*}(3k+2)^3-(3k+2)&=27k^3+54k^2+33k+6\\[0.5em]&=3(9k^3+18k^2+11k+2)\end{align*}$

9 k^{3} + 18 k^{2} + 11 k + 2

$9k^3+18k^2+11k+2$ は整数なので

3 (9 k^{3} + 18 k^{2} + 11 k + 2)

$3(9k^3+18k^2+11k+2)$ は3の倍数であることがわかります。

したがって連続する3つの整数の積は3の倍数となることを示すことができました。

以上より $\text{(a)}$ は2の倍数かつ3の倍数であるから連続する3つの整数の積は6の倍数であることがわかります。

ちなみに、中央の数に着目しない場合でも

最初の数に着目した場合

\begin{aligned} n (n + 1) (n + 2) & = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n \\ = (n^{3} - n) + (3 n^{2} + 3 n) \\ = (n - 1) n (n + 1) + 3 n (n + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}n(n+1)(n+2)&=n^3+3n^2+2n\\[0.5em]&=(n^3-n)+(3n^2+3n)\\[0.5em]&=(n-1)n(n+1)+3n(n+1)\end{align*}$

最後の数に着目した場合

\begin{aligned} (n - 2) (n - 1) n & = n^{3} - 3 n^{2} + 2 n \\ = (n^{3} - n) - (3 n^{2} - 3 n) \\ = (n - 1) n (n + 1) + 3 (n - 1) n \end{aligned}

$\begin{align*}(n-2)(n-1)n&=n^3-3n^2+2n\\[0.5em]&=(n^3-n)-(3n^2-3n)\\[0.5em]&=(n-1)n(n+1)+3(n-1)n\end{align*}$

のように書け、

(n - 1) n (n + 1)

$(n-1)n(n+1)$ は上記より6の倍数で

n (n + 1), (n - 1) n

$n(n+1),(n-1)n$ は連続する2つの整数の積なので

3 n (n + 1), 3 (n - 1) n

$3n(n+1),3(n-1)n$ もまた6の倍数となり、同様に6の倍数であることを確かめることができます。

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