小数と分数を含む1次方程式を解く

\[\Large -0.8x+1=\frac{1}{6}x-1.5\]

「上の方程式を解け。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　小数と分数を含む方程式を解くには、まず小数か分数のどちらかに統一する必要があります。
問題の場合、$\dfrac{1}{6}=0.1666\cdots$のように無限小数が含まれていると小数に統一したとき計算しづらくなってしまうので、分数に統一してしまったほうが無難です。

小数は

\begin{align*}0.8&=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\\[0.5em]1.5&=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\end{align*}

となるので、

\[-\frac{4}{5}x+1=\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}\]

と書けます。

ここからの進め方には、両辺に分母の最小公倍数を掛けて分数を整数にする方法と分数のまま解く方法の2つがあります。

1. 分母の最小公倍数を掛ける

　この方程式に含まれる分数の分母は$2,5,6$なので、この3つの数の最小公倍数は$30$です。
なので、両辺に$30$を掛けると

\begin{align*}\left(-\frac{4}{5}x+1\right)\cdot30&=\left(\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}\right)\cdot30\\[0.5em]-24x+30&=5x-45\end{align*}

となり、これを解けば

\begin{align*}5x+24x&=30+45\\[0.5em]29x&=75\\[0.5em]x&=\frac{75}{29}\end{align*}

となります。

2. そのまま解く

　そのまま解くと

\begin{align*}\frac{1}{6}x+\frac{4}{5}x&=\frac{3}{2}+1\\[0.5em]\left(\frac{1}{6}+\frac{4}{5}\right)x&=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}\\[0.5em]\left(\frac{5}{30}+\frac{24}{30}\right)x&=\frac{5}{2}\\[0.5em]\frac{29}{30}x&=\frac{5}{2}\\[0.5em]x&=\frac{5}{2}\cdot\frac{30}{29}\\[0.5em]&=\frac{75}{29}\end{align*}

となります。