アルベロス図形とは、上図のように直線に関して同じ側に円弧がある3つの半円の弧に囲まれた図形のことです。
そして、上図のようにアルベロス図形$ABC$を小さい2つの半円の交点$D$を通る直径$AB$に垂直な直線$CD$で分割してできる図形$ACD,BCD$それぞれの内接円のことを
アルキメデスの双子円といいます。双子円という名の通り半径が等しく、半円$AC$の半径を$a$、半円$BC$の半径を$b$とすると
\[\frac{ab}{a+b}\]
と表されます。
これが成り立つことを座標平面をもちいて確かめてみます。
$0$以上の実数$a,b$をもちいて、原点を通る半径$a$、中心$P(-a,0)$の円と原点を通る半径$b$、中心$Q(b,0)$の円を描きます。これらがアルベロス図形を形づくる小さい2つの半円のもととなる円です。
円$P,Q$それぞれの円の方程式は
\begin{array}{l}P:&(x+a)^2+y^2=a^2\\[1em]Q:&(x-b)^2+y^2=b^2\end{array}
となります。
これらの円と内接する円$R$の半径は$a+b$、中心は$(b-a,0)$となるので円の方程式は
\[R:\quad\bigl\{x-(b-a)\bigr\}^2+y^2=(a+b)^2\]
となります。
円$P$の原点でないx軸との交点を$A$、円$Q$の原点でないx軸との交点を$B$とすると、x軸に対称な1組のアルベロス図形$OAB$ができるのですが、ここでは領域$y\geqq0$内にあるほうのアルベロス図形$OAB$に着目します。
図形$OAC$の内接円の半径を求める
弧$AB$とy軸との交点を$C$とし、図形$OAC$の内接円$X$について考えます。
図形$OAC$はy軸、円$P,R$に囲まれた図形であることから、内接円$X$について以下のようにいうことができます。
- 円$X$はy軸と接する。
- 円$X$は円$P$と外接している。
- 円$X$は円$R$と内接している。
これらをもちいて円$X$の半径を求めます。
1. 円$X$はy軸と接する
円$X$の中心を$(s,t)$とおくと円$X$の半径は点$(s,t)$とy軸の距離に等しいので$|s|$となります。円$X$は領域$x\leqq0$内に存在するので$s\leqq0$より$|s|=-s$です。
このことから円$X$の中心は少なくとも直線$x=s\
\cdots(1)$上に存在しているといえます。
2. 円$X$は円$P$と外接している
円$X$は円$P$と外接しているので、中心間の距離は$a+|s|=a-s$となります。
このことから円$X$の中心は少なくとも半径$a-s$の円$P$の同心円、すなわち円$(x+a)^2+y^2=(a-s)^2\
\cdots(2)$上に存在するといえます。
3. 円$X$は円$R$と内接している
円$X$は円$R$と内接しているので、中心間の距離は$a+b-|s|=a+b+s$となります。
このことから円$X$の中心は少なくとも半径$a+b+s$の円$R$の同心円、すなわち円$\bigl\{x-(b-a)\bigr\}^2+y^2=(a+b+s)^2\
\cdots(3)$上に存在するといえます。
円$X$の中心は(1)、(2)、(3)の交点にあるので、これらを連立して解きます。
$(3)-(2)$より
\begin{align*}\bigl\{x-(b-a)\bigr\}^2-(x+a)^2&=(a+b+s)^2-(a-s)^2\\[0.5em]\Bigl[\bigl\{x-(b-a)\bigr\}+(x+a)\Bigr]\Bigl[\bigl\{x&-(b-a)\bigr\}-(x+a)\Bigr]\\
=\bigl\{(a+b+s)+(a-s)\bigr\}&\bigl\{(a+b+s)-(a-s)\bigr\}\\[0.5em](2x+2a-b)(-b)&=(2a+b)(b+2s)\\[0.5em]2s(2a+b)+2bx&=-4ab\end{align*}
(1)を代入して
\begin{align*}2s(2a+b)+2bs&=-4ab\\[0.5em]4s(a+b)&=-4ab\\[0.5em]s&=-\frac{ab}{a+b}\end{align*}
したがって、円$X$の中心のx座標は$-\dfrac{ab}{a+b}$なので、半径は$\dfrac{ab}{a+b}$であることがわかります。
図形$OBC$の内接円の半径を求める
次は図形$OBC$の内接円$Y$について考えます。
内接円$X$のときと同様に、図形$OBC$はy軸、円$Q,R$に囲まれた図形であることから以下のようにいうことができます。
- 円$Y$はy軸に接している。
- 円$Y$は円$Q$と外接している。
- 円$Y$は円$R$と内接している。
これらをもちいて円$Y$の半径を求めます。
1. 円$Y$はy軸に接している
円$Y$の中心を$(u,v)$とおくと円$Y$の半径は$|u|$となります。円$Y$は領域$x\geqq0$内に存在するので$|u|=u$となります。
このことから円$Y$は少なくとも直線$x=u\
\cdots(4)$上に存在しているといえます。
2. 円$Y$は円$Q$と外接している
円$Y$は円$Q$と外接しているので、中心間の距離は$b+u$となります。
このことから円$Y$は少なくとも半径$b+u$の円$Q$の同心円、すなわち円$(x-b)^2+y^2=(b+u)^2\
\cdots(5)$上に存在しているといえます。
3. 円$Y$は円$R$と内接している
円$Y$は円$R$と内接しているので、中心間の距離は$a+b-u$となります。
このことから円$Y$は少なくとも半径$a+b-u$の円$R$の同心円、すなわち円$\bigl\{x-(b-a)\bigr\}^2+y^2=(a+b-u)^2\
\cdots(6)$上に存在しているといえます。
円$Y$の中心は(4)、(5)、(6)の交点にあるので、これらを連立して解きます。
$(6)-(5)$より
\begin{align*}\bigl\{x-(b-a)\bigr\}^2-(x-b)^2&=(a+b-u)^2-(b+u)^2\\[0.5em](2x+a-2b)\cdot
a&=(a+2b)(a-2u)\\[0.5em]2u(a+2b)+2ax&=4ab\end{align*}
(4)を代入して
\begin{align*}2u(a+2b)+2au&=4ab\\[0.5em]4u(a+b)&=4ab\\[0.5em]u&=\frac{ab}{a+b}\end{align*}
したがって、円$Y$の中心のx座標と半径は$\dfrac{ab}{a+b}$であることがわかります。
以上より、アルキメデスの双子円である円$X,Y$の半径はともに$\dfrac{ab}{a+b}$であることを確かめることができました。
双子円の中心のy座標
本記事の目的はアルキメデスの双子円の半径を求めることなので、その過程で円$X,Y$のx座標のみ求めましたが、さらにy座標も求めてみます。
円$X,Y$の中心の座標はそれぞれ$\left(-\dfrac{ab}{a+b},t\right),\left(\dfrac{ab}{a+b},v\right)$、円$R$との中心距離はどちらの円も$a+b-\dfrac{ab}{a+b}$であることを利用すると以下のように求められます。
円$X$のy座標
\begin{align*}\sqrt{\left\{(b-a)-\left(-\frac{ab}{a+b}\right)\right\}^2+t^2}&=a+b-\frac{ab}{a+b}\\[0.5em]\left\{(b-a)+\frac{ab}{a+b}\right\}^2+t^2&=\left(a+b-\frac{ab}{a+b}\right)^2\\[0.5em](b-a)^2+\frac{2ab(b-a)}{a+b}+t^2&=(a+b)^2-2ab\\[0.5em]t^2&=2ab-\frac{2ab(b-a)}{a+b}\\[0.5em]&=2ab\left(1-\frac{b-a}{a+b}\right)\\[0.5em]&=\frac{4a^2b}{a+b}\\[0.5em]t&=2a\sqrt{\frac{b}{a+b}}&(\because
t\geqq0)\end{align*}
円$Y$のy座標
\begin{align*}\sqrt{\left\{(b-a)-\frac{ab}{a+b}\right\}^2+v^2}&=a+b-\frac{ab}{a+b}\\[0.5em]\left\{(b-a)-\frac{ab}{a+b}\right\}^2+v^2&=\left(a+b-\frac{ab}{a+b}\right)^2\\[0.5em](b-a)^2-\frac{2ab(b-a)}{a+b}+v^2&=(a+b)^2-2ab\\[0.5em]v^2&=2ab+\frac{2ab(b-a)}{a+b}\\[0.5em]&=2ab\left(1+\frac{b-a}{a+b}\right)\\[0.5em]&=\frac{4ab^2}{a+b}\\[0.5em]v&=2b\sqrt{\frac{a}{a+b}}&(\because
v\geqq0)\end{align*}
したがって、円$X,Y$の中心の座標はそれぞれ以下のようになります。
\begin{align*}X:&\left(-\frac{ab}{a+b},2a\sqrt{\frac{b}{a+b}}\right)\\[1em]Y:&\left(\frac{ab}{a+b},2b\sqrt{\frac{a}{a+b}}\right)\end{align*}
円$R$の半径を$1$、円$P$の半径を$a$とすると、円$Q$の半径は$1-a$となります。
すると、上記の各円の方程式、中心、半径は$b=1-a$を代入して以下のようになります。
\begin{align*}P:&(x+a)^2+y^2=a^2\\ &中心:\ (-a,0)\quad半径:\ a\\[1em]Q:&(x-1+a)^2+y^2=(1-a)^2\\ &中心:\ (1-a,0)\quad半径:\ 1-a\\[1em]R:&(x-1+2a)^2+y^2=1\\ &中心:\ (1-2a,0)\quad半径:\ 1\\[1em]X:&\bigl\{x+a(1-a)\bigr\}^2+(y-2a\sqrt{1-a})^2=a^2(1-a)^2\\ &中心:\ \bigl(-a(1-a),2a\sqrt{1-a}\bigr)\quad半径:\ a(1-a)\\[1em]Y:&\bigl\{x-a(1-a)\bigr\}^2+\bigl\{y-2(1-a)\sqrt{a}\bigr\}^2=a^2(1-a)^2\\ &中心:\ \bigl(a(1-a),2(1-a)\sqrt{a}\bigr)\quad半径:\ a(1-a)\end{align*}
Share:
https://p-suugaku.blogspot.com/2023/05/archimedes-twin.htmlアルキメデスの双子円の半径を求める
.png)
.png)
