床関数と天井関数

床関数

　$\lfloor x\rfloor$や$[x]$と書き表される関数を床関数といいます。$[x]$の$[\ ]$は単なる括弧ではなく、床関数を表すものとしてガウス記号と呼ばれます。

床関数$\lfloor x\rfloor$の値は整数$n$をもちいて以下のように決まります。

実数$x$が$n\leqq x<n+1$の範囲にあるとき
\[\lfloor x\rfloor=n\]
すなわち、実数$x$以下の最大の整数が床関数$\lfloor x\rfloor$のとる値となります。

この値の決め方は整数部分と同じです。したがって、床関数$\lfloor x\rfloor$は実数$x$の整数部分であるともいえます。
また、実数$x$の小数部分は床関数$\lfloor x\rfloor$をもちいて$x-\lfloor x\rfloor$と書けます。

床関数のグラフは上のようになります。

天井関数

　$\lceil x\rceil$と書き表される関数を天井関数といいます。

天井関数$\lceil x\rceil$の値は整数$n$をもちいて以下のように決まります。

実数$x$が$n<x\leqq n+1$の範囲にあるとき
\[\lceil x\rceil=n+1\]
すなわち、実数$x$以上の最小の整数が天井関数$\lceil x\rceil$のとる値となります。

天井関数のグラフは上のようになります。

　床関数と天井関数のグラフを比較すると、互いのグラフは原点を中心に$180°$回転したものであることがわかります。したがって、

\begin{align*}\lfloor x\rfloor&=-\lceil-x\rceil\\[0.5em]\lceil x\rceil&=-\lfloor-x\rfloor\end{align*}

が成り立ちます。

関連：関数のグラフの対称移動

また、$\lfloor x\rfloor=\lceil x\rceil$が成り立つのは$x$が整数のときです。$x$が整数以外のときは$\lfloor x\rfloor<\lceil x\rceil$となります。

すなわち、すべての実数$x$で$\lfloor x\rfloor\leqq\lceil x\rceil$が成り立ちます。