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2023年5月3日

アルベロス図形とは

アルベロス図形
 半円ABの直径AB上に点Cをおき、ABに関して弧ABと同じ側に円弧があるように半円ACと半円BCを描きます。このとき3つの円弧によって囲まれた図形のことをアルベロス図形といいます。

この図形には、以下のような性質があります。
アルベロス図形の性質
  • Cから直径ABに対する垂線を引き、弧ABとの交点をDとしたとき、線分CDを直径とする円(上図の赤い円)の面積とアルベロス図形ABCの面積は等しい。
  • 線分ADと半円ACA以外の交点をE、線分BDと半円BCB以外の交点をFとすると、4点C,D,E,Fは同一円周上にあり、四角形CEDFは長方形となる。
  • 直線EFは半円ACと半円BCの共通接線となる。

これらが成り立つことを確かめてみます。

アルベロス図形の面積

アルベロス図形の面積
 アルベロス図形ABCの面積は半円ABの面積から、半円ACと半円BCの面積を引くことで求められます。
半円ABの直径をR、半円ACの直径をrとすると、半円BCの直径はR-rとなります。
半円ABの面積は
\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{\pi R^2}{8}
半円ACの面積は
\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{\pi r^2}{8}
半円BCの面積は
\begin{align*}\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2&=\frac{\pi(R-r)^2}{8}\\[0.5em]&=\frac{\pi\left(R^2+r^2-2Rr\right)}{8}\end{align*}
なので、アルベロス図形ABCの面積は
\begin{equation}\frac{\pi R^2}{8}-\left\{\frac{\pi r^2}{8}+\frac{\pi\left(R^2+r^2-2Rr\right)}{8}\right\}=\frac{\pi r(R-r)}{4}\end{equation}
となります。

 次に線分CDを直径とする円の面積を求めます。
線分CDの長さはGeometric mean theoremよりCD=\sqrt{r(R-r)}となります。
したがって、面積は
\begin{equation}\pi\left(\frac{\sqrt{r(R-r)}}{2}\right)^2=\frac{\pi r(R-r)}{4}\end{equation}
となります。

(1),(2)よりアルベロス図形ABCCDを直径とする円の面積は等しくなることがわかります。

アルベロス図形の面積は以下に紹介する動画のように証明することもできます。
リンク:Arbelos Area (visual proof) - YouTube


4点C,D,E,Fについて

アルベロス図形と同一円周上の4点
 半円ABにおいて3点A,B,Dは弧AB上にあるので、タレスの定理より∠ADB=90°となります。すなわち∠EDF=90°です。

半円ACにおいて3点A,C,Eは弧AC上にあり、半円BCにおいて3点B,C,Fは弧BC上にあるので、同様に∠AEC=∠BFC=90°となります。このことから∠CED=∠CFD=90°です。

ここで、3点C,D,Eにおいて∠CED=90°であるから、タレスの定理の逆より3点は線分CDを直径とする円の円周上に存在することがわかります。
同様に3点C,D,Fにおいて∠CFD=90°であるから、これらもCDを直径とする円の円周上に存在します。

線分CDを直径とする円はただ1つなので、4点C,D,E,Fは同一円周上にあります。

 このことから四角形CEDFは円に内接する四角形であることがわかるので、対角の和は180°となります。

したがって、∠EDF=90°より対角∠ECFの大きさは90°です。

内角がすべて90°である四角形CEDFは長方形であることがわかります。


直線EFについて

アルベロス図形と2つの半円の共通接線
 線分CDを直径とする円の中心をO、半円ACの中心をM、半円BCの中心をNとします。このとき点Oは内接する長方形CEDFの2本の対角線の交点かつ中点、すなわち線分CD,EFの中点となります。

OにおいてOC=OE=OFなので、△OCE△OCFは二等辺三角形であり、∠OCE=∠OEC\ \cdots(a),∠OCF=∠OFC\ \cdots(b)が成り立ちます。

半円ACにおいてMC=MEなので、△MCEは二等辺三角形であり、∠MCE=∠MEC\ \cdots(c)が成り立ちます。

半円BCにおいてNC=NFなので、△NCFは二等辺三角形であり、∠NCF=∠NFC\ \cdots(d)が成り立ちます。

ここでCD\perp ABすなわちOC\perp MNより∠OCM=∠OCE+∠MCE=90°です。
すると、(a)、(c)より
∠OEC+∠MEC=∠OEM=90°
となり、直線OEすなわち直線EFは半円ACの接線であることがわかります。
また、∠OCN=∠OCF+∠NCF=90°、(b)、(d)より
∠OFC+∠NFC=∠OFN=90°
となり、直線OFすなわち直線EFは半円BCの接線であることがわかります。

したがって以上より、直線EFは半円ACと半円BCの共通接線であることがわかります。

これは半円AC,BCそれぞれのもととなる円M,Nの共通外接線でもあります。
また、直線CDは円M,Nの共通内接線となります。

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