半円
ABの直径
AB上に点
Cをおき、
ABに関して弧
ABと同じ側に円弧があるように半円
ACと半円
BCを描きます。このとき3つの円弧によって囲まれた図形のことを
アルベロス図形といいます。
この図形には、以下のような性質があります。
-
点Cから直径ABに対する垂線を引き、弧ABとの交点をDとしたとき、線分CDを直径とする円(上図の赤い円)の面積とアルベロス図形ABCの面積は等しい。
-
線分ADと半円ACのA以外の交点をE、線分BDと半円BCのB以外の交点をFとすると、4点C,D,E,Fは同一円周上にあり、四角形CEDFは長方形となる。
- 直線EFは半円ACと半円BCの共通接線となる。
これらが成り立つことを確かめてみます。
アルベロス図形の面積
アルベロス図形
ABCの面積は半円
ABの面積から、半円
ACと半円
BCの面積を引くことで求められます。
半円
ABの直径を
R、半円
ACの直径を
rとすると、半円
BCの直径は
R-rとなります。
半円
ABの面積は
\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{\pi R^2}{8}
半円
ACの面積は
\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{\pi r^2}{8}
半円
BCの面積は
\begin{align*}\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{R-r}{2}\right)^2&=\frac{\pi(R-r)^2}{8}\\[0.5em]&=\frac{\pi\left(R^2+r^2-2Rr\right)}{8}\end{align*}
なので、アルベロス図形
ABCの面積は
\begin{equation}\frac{\pi R^2}{8}-\left\{\frac{\pi
r^2}{8}+\frac{\pi\left(R^2+r^2-2Rr\right)}{8}\right\}=\frac{\pi
r(R-r)}{4}\end{equation}
となります。
次に線分CDを直径とする円の面積を求めます。
線分CDの長さはGeometric mean theoremよりCD=\sqrt{r(R-r)}となります。
したがって、面積は
\begin{equation}\pi\left(\frac{\sqrt{r(R-r)}}{2}\right)^2=\frac{\pi
r(R-r)}{4}\end{equation}
となります。
(1),(2)よりアルベロス図形ABCとCDを直径とする円の面積は等しくなることがわかります。
アルベロス図形の面積は以下に紹介する動画のように証明することもできます。
リンク:Arbelos Area (visual proof) - YouTube
4点C,D,E,Fについて
半円
ABにおいて3点
A,B,Dは弧
AB上にあるので、タレスの定理より
∠ADB=90°となります。すなわち
∠EDF=90°です。
半円ACにおいて3点A,C,Eは弧AC上にあり、半円BCにおいて3点B,C,Fは弧BC上にあるので、同様に∠AEC=∠BFC=90°となります。このことから∠CED=∠CFD=90°です。
ここで、3点C,D,Eにおいて∠CED=90°であるから、タレスの定理の逆より3点は線分CDを直径とする円の円周上に存在することがわかります。
同様に3点C,D,Fにおいて∠CFD=90°であるから、これらもCDを直径とする円の円周上に存在します。
線分CDを直径とする円はただ1つなので、4点C,D,E,Fは同一円周上にあります。
このことから四角形CEDFは円に内接する四角形であることがわかるので、対角の和は180°となります。
したがって、∠EDF=90°より対角∠ECFの大きさは90°です。
内角がすべて90°である四角形CEDFは長方形であることがわかります。
直線EFについて
線分
CDを直径とする円の中心を
O、半円
ACの中心を
M、半円
BCの中心を
Nとします。このとき点
Oは内接する長方形
CEDFの2本の対角線の交点かつ中点、すなわち線分
CD,EFの中点となります。
円OにおいてOC=OE=OFなので、△OCEと△OCFは二等辺三角形であり、∠OCE=∠OEC\
\cdots(a),∠OCF=∠OFC\ \cdots(b)が成り立ちます。
半円ACにおいてMC=MEなので、△MCEは二等辺三角形であり、∠MCE=∠MEC\
\cdots(c)が成り立ちます。
半円BCにおいてNC=NFなので、△NCFは二等辺三角形であり、∠NCF=∠NFC\
\cdots(d)が成り立ちます。
ここで
CD\perp ABすなわち
OC\perp MNより
∠OCM=∠OCE+∠MCE=90°です。
すると、(a)、(c)より
となり、直線
OEすなわち直線
EFは半円
ACの接線であることがわかります。
また、
∠OCN=∠OCF+∠NCF=90°、(b)、(d)より
となり、直線
OFすなわち直線
EFは半円
BCの接線であることがわかります。
したがって以上より、直線EFは半円ACと半円BCの共通接線であることがわかります。
これは半円AC,BCそれぞれのもととなる円M,Nの共通外接線でもあります。
また、直線CDは円M,Nの共通内接線となります。