負の数のべき乗が実数となる条件は？ ~ 数学について考えてみる

　正の数のべき乗

$a^x$ はすべての実数

$x$ で実数となります。しかし負の数のべき乗

$(-a)^x\ (a>0)$ はすべての実数

$x$ で実数となるわけではありません。

負の数のべき乗が実数となる条件は何でしょうか？

$x$ が整数のとき

$x=2n\ (n:\text{整数})$ 、すなわち

$x$ が偶数のとき

$\begin{align*}(-a)^{2n}&=\left\{(-a)^2\right\}^n\\[0.5em]&=(a^2)^n\\[0.5em]&=a^{2n}\end{align*}$

となるので、正の実数となります。

$x=0$ のときは

$x$ の偶数のときに含まれますが、

$a$ の値に関わらず

$(-a)^0=1$ となります。

$x=2n+1\ (n:\text{整数})$ 、すなわち

$x$ が奇数のとき

$\begin{align*}(-a)^{2n+1}&=(-a)^{2n}\cdot(-a)\\[0.5em]&=\left\{(-a)^2\right\}^n\cdot(-a)\\[0.5em]&=(a^2)^n\cdot(-a)\\[0.5em]&=a^{2n}\cdot(-a)\\[0.5em]&=-a^{2n+1}\end{align*}$

となるので、負の実数となります。

$x$ が整数以外の有理数のとき

$x$ が

$0$ 以外の整数の逆数の場合から考えます。

$x=\dfrac{1}{2n}\ (n:\text{整数})$ 、すなわち

$x$ が偶数の逆数のとき

$\begin{align*}(-a)^{\frac{1}{2n}}&=a^{\frac{1}{2n}}\cdot(-1)^{\frac{1}{2n}}\end{align*}$

ここで、オイラーの公式をもちいて

$\begin{align*}a^{\frac{1}{2n}}\cdot(-1)^{\frac{1}{2n}}&=a^{\frac{1}{2n}}\cdot\left\{e^{i(2m+1)\pi}\right\}^{\frac{1}{2n}}&(m:\text{整数})\\[0.5em]&=a^{\frac{1}{2n}}\cdot e^{i\frac{2m+1}{2n}\pi}\end{align*}$

となります。複素数の範囲まで広げて考えた結果、任意の整数

$m$ が現れたことで複数の複素数を表す状態となっていますが、

$(-a)^x$ が実数となる適当な

$m$ が存在するとき、

$(-a)^x$ は実数であるとします。

ここで、 $a^{\frac{1}{2n}}$ は実数なので、 $e^{i\frac{2m+1}{2n}\pi}$ に実数となるものがあるかを確認します。
$e^{i\frac{2m+1}{2n}\pi}$ が実数になるためには、指数部分の $\dfrac{2m+1}{2n}$ が整数である必要があります。しかし、これが整数になることはありません。

$\dfrac{2m+1}{2n}$ は分母が偶数、分子が奇数の分数なので、積の偶奇に着目すると

$\begin{align*}(偶数)\times(偶数)&=(偶数)\\[1em](偶数)\times(奇数)&=(偶数)\\[1em](奇数)\times(奇数)&=(奇数)\end{align*}$

より、分母は

$(偶数)\times(偶数)$ 、または

$(偶数)\times(奇数)$ からなり、分子は

$(奇数)\times(奇数)$ からなるということになります。
すると

$\dfrac{2m+1}{2n}$ はすでに既約分数で整数にならないか、奇数が共通因数となり約分できる可能性はあっても結局

$(奇数)/(偶数)$ の形のままで整数にならないかのどちらかです。

したがって、 $n$ に対しどのように $m$ をとっても $e^{i\frac{2m+1}{2n}\pi}$ が実数とならないので、 $(-a)^{\frac{1}{2n}}$ もまた実数となりません。

　また、

$(-a)^{\frac{1}{2n}}$ の累乗、すなわち整数

$k$ をもちいて

$\begin{align*}\left\{(-a)^{\frac{1}{2n}}\right\}^k&=\left\{a^{\frac{1}{2n}}\cdot e^{i\frac{2m+1}{2n}\pi}\right\}^k\\[0.5em]&=a^\frac{k}{2n}\cdot e^{i\frac{k(2m+1)}{2n}\pi}\end{align*}$

の

$\dfrac{k(2m+1)}{2n}$ が整数のとき実数になります。そのときの

$k$ の条件は

$2n$ の倍数であることですが、それは結局

$-a$ の整数乗に他なりません。

したがって、 $x$ が分母が偶数の有理数であるとき、 $(-a)^x$ が実数となるものは存在しません。

$x=\dfrac{1}{2n+1}\ (n:\text{整数})$ 、すなわち

$x$ が奇数の逆数のとき

$\begin{align*}(-a)^{\frac{1}{2n+1}}&=a^{\frac{1}{2n+1}}\cdot(-1)^{\frac{1}{2n+1}}\\[0.5em]&=a^{\frac{1}{2n+1}}\cdot\left\{e^{i(2m+1)\pi}\right\}^{\frac{1}{2n+1}}&(m:\text{整数})\\[0.5em]&=a^{\frac{1}{2n+1}}\cdot e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}\end{align*}$

となります。

ここで、

$a^{\frac{1}{2n+1}}$ は実数なので、

$e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}$ に実数となるものがあるかを確認します。

$e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}$ が実数となるためには、指数部分の

$\dfrac{2m+1}{2n+1}$ が整数である必要があります。
分母と分子ともに奇数なので上記の積の偶奇の

$(奇数)\times(奇数)$ より、分子が分母の奇数倍のとき、約分できかつ整数となります。すなわち整数

$k$ をもちいて

$2m+1=(2k+1)(2n+1)$ となれば

$\dfrac{2m+1}{2n+1}=2k+1$ なので、

$e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}=e^{i(2k+1)\pi}=-1$

です。

したがって、 $e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}$ が実数となるような $m$ が存在し、かつ $e^{i\frac{2m+1}{2n+1}\pi}=-1$ になるので、 $(-a)^{\frac{1}{2n+1}}$ は負の実数となります。

　またこのことから、 $(-a)^{\frac{1}{2n+1}}$ の累乗は $x$ が整数の場合と同じ場合分けとなります。
すなわち整数 $m$ をもちいて、指数の分子が偶数の $(-a)^{\frac{2m}{2n+1}}$ は正の実数、分子が奇数の $(-a)^{\frac{2m+1}{2n+1}}$ は負の実数となります。

$x$ が分母が奇数の有理数のときの場合分けは、上記の $(-a)^{\frac{2m+1}{2n+1}}$ の指数部分 $\dfrac{2m+1}{2n+1}$ が整数となるときを除いたものとなります。

$x$ が整数のときと整数以外の有理数のときで

$x$ が任意の有理数の場合を考えることができました。